NCERT Solutions for Class 10 Math Chapter 6 त्रिभुज

कक्षा 10 गणित अध्याय 6 के लिए एनसीईआरटी समाधान 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 Triangles यहाँ दिए गए हैं जो CBSE कक्षा 10 में पढ़ने वाले छात्रों के लिए सबसे महत्वपूर्ण अध्ययन सामग्री में से एक माना जाता है। NCERT Solutions for Class 10 Maths के अध्याय 6 को कक्षा के पहले कार्यकाल के तहत संरचित किया गया है। 2021-22 के लिए अद्यतन सीबीएसई पाठ्यक्रम के अनुसार 10 गणित। इसमें कई नियमों और प्रमेयों सहित एक विशाल विषय शामिल है। छात्र अक्सर भ्रमित हो जाते हैं कि किसी एक प्रश्न को हल करते समय किस प्रमेय का उपयोग किया जाए।

BYJU'S में प्रदान किए गए समाधान इस तरह से हैं कि किसी समस्या को हल करते समय प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से और विस्तार से समझाया गया है। एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित के समाधान विषय विशेषज्ञों द्वारा छात्रों को उनकी पहली परीक्षा की तैयारी में बेहतर तरीके से मदद करने के लिए तैयार किए जाते हैं। ये समाधान न केवल परीक्षा की तैयारी के लिए बल्कि गृहकार्य और असाइनमेंट को हल करने में भी सहायक हो सकते हैं।

सीबीएसई कक्षा 10 परीक्षा अक्सर एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तकों से प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से प्रश्न पूछती है और इस प्रकार, कक्षा 10 गणित के अध्याय 6 त्रिकोण के लिए एनसीईआरटी समाधान किसी भी प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए खुद को तैयार करने और तैयार करने के लिए सबसे अच्छे संसाधनों में से एक है। परीक्षा में, अध्याय से। छात्रों को कक्षा 10 के प्रथम और द्वितीय सत्र की परीक्षाओं में उत्कृष्टता प्राप्त करने के लिए नियमित रूप से इन एनसीईआरटी समाधानों का अभ्यास करने की अत्यधिक अनुशंसा की जाती है।

एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 6 – त्रिभुज के उत्तर प्राप्त करें

Exercise - 6.1 पृष्ठ: 122

1. कोष्ठकों में दिए गए सही शब्द का प्रयोग कर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:-

(i) सभी वृत्त __________ हैं। (समान, समान)

उत्तर: समान

(ii) सभी वर्ग __________ हैं। (समान, सर्वांगसम)

उत्तर: समान

(iii) सभी __________ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)

उत्तर: समबाहु

(iv) समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (a) उनके संगत कोण _________ हों और (b) उनकी संगत भुजाएँ __________ हों। (समान, आनुपातिक)

उत्तर: (ए) समान

(बी) आनुपातिक

2. (i)
समरूप आकृतियों (ii) असमान आकृतियों के युग्म के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए

समाधान:

3. बताएं कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं:

समाधान:

दी गई दो आकृतियों से हम देख सकते हैं कि उनके संगत कोण भिन्न या असमान हैं। इसलिए वे समान नहीं हैं।

---

Exercise - 6.2 पृष्ठ: 128

1. आकृति में। (i) और (ii), डीई || ई.पू. (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए।

समाधान:

(i) दिया गया है, ABC में, DE∥BC

AD/DB = AE/EC [मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करना]

⇒1.5/3 = 1/ईसी

ईसी = 3/1.5

ईसी = 3×10/15 = 2 सेमी

अत: ईसी = 2 सेमी.

(ii) दिया गया है, ABC में, DE∥BC

AD/DB = AE/EC [मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करना]

एडी/7.2 = 1.8/5.4

AD = 1.8 ×7.2/5.4 = (18/10)×(72/10)×(10/54) = 24/10

एडी = 2.4

अत: AD = 2.4 सेमी.

2. E और F एक PQR की भुजाओं PQ और PR पर स्थित बिंदु हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक मामले के लिए बताएं कि क्या EF || क्यूआर.
(i) पीई = 3.9 सेमी, ईक्यू = 3 सेमी, पीएफ = 3.6 सेमी और एफआर = 2.4 सेमी

(ii) पीई = 4 सेमी, क्यूई = 4.5 सेमी, पीएफ = 8 सेमी और आरएफ = 9 सेमी
(iii) पीक्यू = 1.28 सेमी, पीआर = 2.56 सेमी, पीई = 0.18 सेमी और पीएफ = 0.63 सेमी

समाधान:

दिया गया है, PQR में, E और F क्रमशः PQ और PR पर दो बिंदु हैं। नीचे दिए गए चित्र को देखें;

 

(i) दिया गया है, PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी और FR = 2,4 सेमी

इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

पीई/ईक्यू = 3.9/3 = 39/30 = 13/10 = 1.3

और पीएफ/एफआर = 3.6/2.4 = 36/24 = 3/2 = 1.5

तो, हम प्राप्त करते हैं, पीई/ईक्यू पीएफ/एफआर

अत: EF, QR के समानांतर नहीं है।

(ii) दिया गया है, पीई = 4 सेमी, क्यूई = 4.5 सेमी, पीएफ = 8 सेमी और आरएफ = 9 सेमी

इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

पीई/क्यूई = 4/4.5 = 40/45 = 8/9

और, पीएफ/आरएफ = 8/9

तो, हम यहाँ पहुँचते हैं,

पीई/क्यूई = पीएफ/आरएफ

अत: EF, QR के समांतर है।

(iii) दिया गया है, PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी और PF = 0.36 सेमी

आकृति से,

ईक्यू = पीक्यू - पीई = 1.28 - 0.18 = 1.10 सेमी

और, एफआर = पीआर - पीएफ = 2.56 - 0.36 = 2.20 सेमी

तो, पीई/ईक्यू = 0.18/1.10 = 18/110 = 9/55 ……. (मैं)

और, पीई/एफआर = 0.36/2.20 = 36/220 = 9/55 …………… (ii)

तो, हम यहाँ पहुँचते हैं,

पीई/ईक्यू = पीएफ/एफआर

अत: EF, QR के समांतर है।

3. आकृति में, यदि LM || सीबी और एलएन || CD, सिद्ध कीजिए कि AM/AB = AN/AD

समाधान:

दी गई आकृति में, हम देख सकते हैं, LM || सीबी,

बुनियादी आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

एएम/एबी = एएल/एसी ………………..(i)

इसी तरह, दिया गया, एलएन || सीडी और बुनियादी आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करते हुए,

एएन/एडी = एएल/एसी ……………………………(ii)

समीकरण  (i)  और  (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,

एएम/एबी = एएन/एडी

इसलिए सिद्ध किया।

4. आकृति में, DE||AC और DF||AE। सिद्ध कीजिए कि BF/FE = BE/EC

समाधान:

ABC में, DE || . के रूप में दिया गया है एसी

इस प्रकार, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

बीडी/डीए = बीई/ईसी ……………………………………… (i)

BAE में, DF || . के रूप में दिया गया है ऐ

इस प्रकार, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

बीडी/डीए = बीएफ/एफई ……………………………………… (ii)

समीकरण  (i)  और  (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

बीई/ईसी = बीएफ/एफई

इसलिए सिद्ध किया।

5. आकृति में, DE||OQ और DF||OR, दर्शाइए कि EF||QR।

समाधान:

दिया गया,

ΔPQO, DE || . में ओक्यू

तो मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,

पीडी/डीओ = पीई/ईक्यू ……………… ..(i)

POR, DF || . में फिर से दिया गया या,

तो मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,

पीडी/डीओ = पीएफ/एफआर ………………… (ii)

समीकरण  (i)  और  (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,

पीई/ईक्यू = पीएफ/एफआर

इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से,

ईएफ || QR, PQR में।

6. आकृति में, A, B और C क्रमशः OP, OQ और OR पर ऐसे बिंदु हैं कि AB || पीक्यू और एसी || जनसंपर्क दिखाओ कि ईसा पूर्व || क्यूआर.

समाधान:

यहाँ दिया,

ΔOPQ में, AB || पी क्यू

मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,

ओए/एपी = ओबी/बीक्यू ………. (मैं)

भी दिया,

Δओपीआर में, एसी || जनसंपर्क

मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके

OA/AP = OC/CR……………(ii)

समीकरण  (i)  और  (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,

ओबी/बीक्यू = ओसी/सीआर

इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से,

ΔOQR में, BC || क्यूआर.

7. मूल आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदुओं से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद रखें कि आपने इसे कक्षा IX में सिद्ध किया है)।

समाधान:

दिया गया है, ABC में, D, AB का मध्यबिंदु इस प्रकार है कि AD=DB है।

BC के समांतर एक रेखा AC को E पर प्रतिच्छेद करती है जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है कि DE || ई.पू.

हमें सिद्ध करना है कि E, AC का मध्य बिन्दु है।

चूँकि D, AB का मध्य-बिंदु है।

एडी = डीबी

AD/DB = 1 …………………………. (मैं)

ΔABC में, DE || ईसा पूर्व,

मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,

इसलिए, AD/DB = AE/EC

समीकरण (i) से हम लिख सकते हैं,

⇒ 1 = एई/ईसी

एई = ईसी

अत: सिद्ध हो गया कि E, AC का मध्यबिंदु है।

8. मूल आनुपातिकता प्रमेय के विलोम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद रखें कि आपने इसे कक्षा IX में किया है)।

समाधान:

दिया गया है, ABC में, D और E क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं, जैसे कि,

एडी = बीडी और एई = ईसी।

हमें यह साबित करना होगा: DE || ई.पू.

चूँकि D, AB का मध्यबिंदु है

एडी = डीबी

AD/BD = 1………………………………..  (i)

 

साथ ही दिया गया है, E, AC का मध्य-बिंदु है।

∴ एई = ईसी

एई/ईसी = 1

समीकरण  (i)  और  (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,

एडी/बीडी = एई/ईसी

मूल आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से,

डे || ईसा पूर्व

इसलिए सिद्ध किया।

9. ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC और उसके विकर्ण एक दूसरे को O बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि AO/BO = CO/DO है।

समाधान:

दिया गया है, ABCD एक समलम्ब है जहाँ AB || DC और विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर काटते हैं।

हमें सिद्ध करना है, AO/BO = CO/DO

बिंदु O से, एक रेखा EO खींचिए जो AD को E पर इस प्रकार स्पर्श करे कि,

ईओ || डीसी || अब

ΔADC में, हमारे पास OE || . है डीसी

इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके

एई/ईडी = एओ/सीओ ……………..(i)

अब, ΔABD में, OE || अब

इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके

डीई/ईए = डीओ/बीओ …………….(ii)

समीकरण  (i)  और  (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,

एओ/सीओ = बीओ/डीओ

AO/BO = CO/DO

इसलिए सिद्ध किया।

10. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण एक दूसरे को बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

समाधान:

दिया गया है, चतुर्भुज ABCD जहाँ AC और BD एक दूसरे को O पर इस प्रकार काटते हैं कि,

एओ/बीओ = सीओ/डीओ।

हमें यहाँ सिद्ध करना है, ABCD एक समलंब है

बिंदु O से, एक रेखा EO खींचिए जो AD को E पर इस प्रकार स्पर्श करे कि,

ईओ || डीसी || अब

DAB में, EO || अब

इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके

डीई/ईए = डीओ/ओबी ……………………(i)

साथ ही दिया,

एओ/बीओ = सीओ/डीओ

एओ/सीओ = बीओ/डीओ

सीओ/एओ = डीओ/बीओ

DO/OB = CO/AO …………………………..(ii)

समीकरण  (i)  और  (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

डीई/ईए = सीओ/एओ

इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय के विलोम का उपयोग करके,

ईओ || डीसी भी ईओ || अब

⇒ एबी || डीसी.

अत: चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || सीडी.

---

Exercise - 6.3 पृष्ठ : 138

1. बताइए कि आकृति में त्रिभुजों के कौन-से युग्म समरूप हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके द्वारा प्रयुक्त समानता मानदंड लिखिए और समान त्रिभुजों के युग्मों को प्रतीकात्मक रूप में भी लिखिए:

समाधान:

(i) दिया गया है, ABC और PQR में,

A = P = 60°

B = Q = 80°

∠C = R = 40°

इसलिए एएए समानता मानदंड से,

एबीसी ~ पीक्यूआर

(ii) दिया गया है, ABC और PQR में,

एबी/क्यूआर = 2/4 = 1/2,

बीसी/आरपी = 2.5/5 = 1/2,

सीए/पीए = 3/6 = 1/2

एसएसएस समानता मानदंड द्वारा,

एबीसी ~ Δक्यूआरपी

(iii) दिया गया है, LMP और DEF में,

एलएम = 2.7, एमपी = 2, एलपी = 3, ईएफ = 5, डीई = 4, डीएफ = 6

एमपी/डीई = 2/4 = 1/2

पीएल/डीएफ = 3/6 = 1/2

एलएम/ईएफ = 2.7/5 = 27/50

यहाँ , MP/DE = PL/DF LM/EF

इसलिए, LMP और ΔDEF समान नहीं हैं।

(iv) MNL और QPR में, यह दिया गया है,

एमएन/क्यूपी = एमएल/क्यूआर = 1/2

M = Q = 70°

इसलिए, एसएएस समानता मानदंड द्वारा

एमएनएल ~ क्यूपीआर

(v) ABC और DEF में, दिया गया है,

AB = 2.5, BC = 3, ∠A = 80°, EF = 6, DF = 5, F = 80°

यहाँ AB/DF = 2.5/5 = 1/2

और, बीसी/ईएफ = 3/6 = 1/2

B F

अत: ABC और DEF समरूप नहीं हैं।

(vi) DEF में, त्रिभुजों के कोणों के योग से, हम जानते हैं कि,

D + E + ∠F = 180°

70° + 80° + F = 180°

F = 180° - 70° - 80°

F = 30°

इसी प्रकार, PQR में,

P + Q + R = 180 (Δ के कोणों का योग)

P + 80° + 30° = 180°

P = 180° - 80° -30°

P = 70°

अब, दोनों त्रिभुजों, DEF और PQR की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

D = P = 70°

∠F = Q = 80°

F = R = 30°

इसलिए, एएए समानता मानदंड द्वारा,

अत: DEF ~ PQR

2. आकृति में, ODC OBA, ∠BOC = 125° और ∠ CDO = 70°। DOC, DCO और OAB ज्ञात कीजिए।

समाधान:

जैसा कि हम चित्र से देख सकते हैं, जन्म तिथि एक सीधी रेखा है।

अत: DOC + ∠ COB = 180°

DOC = 180° - 125° (दिया गया है, BOC = 125°)

= 55°

DOC में, त्रिभुज के कोणों के मापों का योग 180º . होता है

अत: DCO + CDO + DOC = 180°

DCO + 70º + 55º = 180° (दिया गया है, CDO = 70°)

DCO = 55°

यह दिया गया है कि, ODC ΔOBA,

इसलिए, ODC ~ OBA।

अत: समरूप त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं

OAB = OCD

ओएबी = 55°

OAB = OCD

OAB = 55°

3. AB के साथ समलंब ABCD के विकर्ण AC और BD || DC एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों के लिए एक समरूपता मानदंड का उपयोग करते हुए, दर्शाइए कि AO/OC = OB/OD

समाधान:

DOC और BOA में,

एबी || सीडी, इस प्रकार वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होंगे,

CDO = ABO

इसी तरह,

DCO = BAO

साथ ही, दो त्रिभुजों ΔDOC और BOA के लिए शीर्षाभिमुख कोण बराबर होंगे;

DOC = BOA

इसलिए, एएए समानता मानदंड द्वारा,

डीओसी ~ बीओए

इस प्रकार, संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

डीओ/बीओ = ओसी/ओए

OA/OC = OB/OD

इसलिए सिद्ध किया।

 

4. आकृति 6.36 में, QR/QS = QT/PR और 1 = 2। दर्शाइए कि PQS ~ TQR है।

समाधान:

ΔPQR में,

पीक्यूआर = पीआरक्यू

∴ पीक्यू = पीआर ……………………… (i)

दिया गया,

क्यूआर/क्यूएस = क्यूटी/पीआरयू समीकरण (i) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

क्यूआर/क्यूएस = क्यूटी/क्यूपी ……………….(ii)

ΔPQS और TQR में, समीकरण (ii) द्वारा,

क्यूआर/क्यूएस = क्यूटी/क्यूपी

क्यू = क्यू

PQS ~ ΔTQR [एसएएस समानता मानदंड द्वारा]

5. S और T PQR की भुजाओं PR और QR पर इस प्रकार स्थित बिंदु हैं कि P = RTS। दर्शाइए कि RPQ ~ RTS।

समाधान:

दिया गया है, S और T PQR . की भुजाओं PR और QR पर स्थित बिंदु हैं

और ∠P = RTS।

RPQ और RTS में,

∠RTS = QPS (दिया गया)

∠R = R (उभय कोण)

RPQ ~ RTS (AA समानता मानदंड)

6. आकृति में, यदि ABE ΔACD, दर्शाइए कि ADE ~ ABC है।

समाधान:

दिया है, ABE ACD।

एबी = एसी [सीपीसीटी द्वारा] ………………………। (मैं)

और, एडी = एई [सीपीसीटी द्वारा] …………………………… (ii)

ADE और ΔABC में, eq.(ii) को eq(i) से भाग देने पर,

एडी/एबी = एई/एसी

∠A = A [उभय कोण]

ADE ~ ΔABC [एसएएस समानता मानदंड]

7. आकृति में, ABC के शीर्षलंब AD और CE एक दूसरे को बिंदु P पर काटते हैं। दर्शाइए कि:

(i) AEP ~ CDP
(ii) ΔABD ~ CBE
(iii) ΔAEP ~ ADB
(iv) ΔPDC ~ BEC

समाधान:

दिया गया है, ABC के शीर्षलंब AD और CE एक दूसरे को बिंदु P पर काटते हैं।

(i) AEP और ΔCDP में,

AEP = ∠CDP (90° प्रत्येक)

APE = CPD (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)

इसलिए, AA समानता मानदंड से,

एईपी ~ सीडीपी

(ii) ABD और CBE में,

ADB = CEB (प्रत्येक 90°)

ABD = CBE (उभय कोण)

इसलिए, AA समानता मानदंड से,

एबीडी ~ सीबीई

(iii) AEP और ADB में,

AEP = ADB (प्रत्येक 90°)

PAE = DAB (उभय कोण)

इसलिए, AA समानता मानदंड से,

एईपी ~ एडीबी

(iv) PDC और BEC में,

PDC = BEC (प्रत्येक 90°)

∠PCD = BCE (उभय कोण)

इसलिए, AA समानता मानदंड से,

पीडीसी ~ बीईसी

8. E समांतर चतुर्भुज ABCD से बनी भुजा AD पर एक बिंदु है और BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करता है। दर्शाइए कि ABE ~ CFB है।

समाधान:

दिया गया है, E एक समांतर चतुर्भुज ABCD से निर्मित भुजा AD पर एक बिंदु है और BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें,

ABE और CFB में,

A = C (एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

AEB = CBF (एई || बीसी के रूप में वैकल्पिक आंतरिक कोण)

ABE ~ CFB (AA समानता मानदंड)

9. आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनका कोण क्रमशः B और M है, सिद्ध कीजिए कि:

(i) ABC ~ AMP

(ii) सीए/पीए = बीसी/एमपी

समाधान:

दिया गया है, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनका कोण क्रमशः B और M है।

(i) ABC और AMP में, हमारे पास है,

CAB = MAP (उभय कोण)

ABC = AMP = 90° (प्रत्येक 90°)

ABC ~ AMP (AA समानता मानदंड)

(ii) ABC ~ AMP (AA समानता मानदंड) के रूप में

यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो संगत भुजाएँ सदैव समान होती हैं,

अत: सीए/पीए = बीसी/एमपी

10. CD और GH क्रमशः ∠ACB और EGF के समद्विभाजक हैं, जैसे D और H क्रमशः ABC और EFG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ABC ~ FEG, तो दर्शाइए कि:

(i) सीडी/जीएच = एसी/एफजी
(ii) ΔDCB ~ HGE
(iii) ΔDCA ~ HGF

समाधान:

दिया गया है, CD और GH क्रमशः ACB और EGF के समद्विभाजक हैं जैसे D और H क्रमशः ABC और EFG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं।

(i) दी गई शर्त से,

ABC ~ FEG.

A = F, ∠B = E, और ∠ACB = FGE

चूँकि, ∠ACB = FGE

∠ACD = FGH (कोण समद्विभाजक)

और, DCB = HGE (कोण समद्विभाजक)

ΔACD और FGH में,

ए = एफ

ACD = FGH

ΔACD ~ ΔFGH (AA समानता मानदंड)

सीडी/जीएच = एसी/एफजी

(ii) DCB और HGE में,

DCB = HGE (पहले ही सिद्ध हो चुका है)

∠B = E (पहले ही सिद्ध हो चुका है)

DCB ~ HGE (AA समानता मानदंड)

(iii) DCA और ΔHGF में,

∠ACD = FGH (पहले ही सिद्ध हो चुका है)

∠A = F (पहले से ही सिद्ध)

DCA ~ HGF (AA ​​समानता मानदंड)

11. निम्नलिखित आकृति में, AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC से निर्मित भुजा CB पर E एक बिंदु है। यदि AD BC और EF AC, सिद्ध कीजिए कि ABD ~ ECF है।

समाधान:

दिया गया है, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

एबी = एसी

ABD = ECF

ABD और ECF में,

ADB = EFC (प्रत्येक 90°)

BAD = CEF (पहले ही सिद्ध हो चुका है)

ABD ~ ECF (AA ​​समानता मानदंड का प्रयोग करके)

12. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC और माध्यिका AD क्रमशः भुजाओं PQ और QR के समानुपाती हैं और PQR की माध्यिका PM है (देखिए आकृति 6.41)। दर्शाइए कि ABC ~ PQR है।

समाधान:

दिया गया है, ABC और PQR, AB, BC और ABC की माध्यिका AD, PQR की भुजाओं PQ, QR और माध्यिका PM के समानुपाती हैं

यानी एबी/पीक्यू = बीसी/क्यूआर = एडी/पीएम

हमें सिद्ध करना है: ABC ~ PQR

जैसा कि हम यहां जानते हैं,

एबी/पीक्यू = बीसी/क्यूआर = एडी/पीएम

AB/PQ = BC/QR = AD/PM (D, BC का मध्यबिंदु है। M, QR का मध्यबिंदु है)

ΔABD ~ ΔPQM [SSS समानता मानदंड]

ABD = PQM [दो समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]

ABC = PQR

ABC और PQR . में

एबी/पीक्यू = बीसी/क्यूआर …………………………। (मैं)

ABC = PQR …………………………… (ii)

समीकरण  (i)  और  (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,

ABC ~ PQR [एसएएस समानता मानदंड]

13. D एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु इस प्रकार है कि ADC = BAC है। दिखाएँ कि CA 2  = CB.CD

समाधान:

दिया गया है, एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि ADC = BAC है।

ADC और BAC में,

ADC = BAC (पहले ही दिया जा चुका है)

ACD = ∠BCA (उभय कोण)

ΔADC ~ BAC (AA समानता मानदंड)

हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

सीए/सीबी = सीडी/सीए

सीए 2  = सीबी.सीडी।

इसलिए सिद्ध किया।

14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC और माध्यिका AD क्रमशः एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR और माध्यिका PM के समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ABC ~ PQR है।

समाधान:

दिया गया है: दो त्रिभुज ABC और PQR जिनमें AD और PM माध्यिकाएँ इस प्रकार हैं कि;

एबी/पीक्यू = एसी/पीआर = एडी/पीएम

हमें सिद्ध करना है, ABC ~ PQR

आइए पहले निर्माण करें: AD को E में इस प्रकार बढ़ाएँ कि AD = DE हो। CE को मिलाइए, इसी प्रकार PM को N से इस प्रकार बढ़ाइए कि PM = MN, RN को भी मिलाइए।

ABD और CDE में, हमारे पास है

AD = DE [निर्माण द्वारा।]

BD = DC [चूंकि, AP माध्यिका है]

और, ADB = CDE [ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]

ABD CDE [सर्वांगसमता की एसएएस कसौटी]

एबी = सीई [सीपीसीटी द्वारा] ………………………….. (i)

साथ ही, PQM और MNR में,

पीएम = एमएन [निर्माण द्वारा।]

QM = MR [चूंकि, PM माध्यिका है]

और, PMQ = NMR [ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]

PQM = MNR [सर्वांगसमता का एसएएस मानदंड]

पीक्यू = आरएन [सीपीसीटी] ……………………………… (ii)

अब, AB/PQ = AC/PR = AD/PM

समीकरण (i)  और  (ii) से,

सीई/आरएन = एसी/पीआर = एडी/पीएम

सीई/आरएन = एसी/पीआर = 2एडी/2 अपराह्न

⇒ सीई/आरएन = एसी/पीआर = एई/पीएन [चूंकि 2AD = AE और 2PM = PN]

ACE ~ PRN [एसएसएस समानता मानदंड]

इसलिए, 2 = ∠4

इसी प्रकार, 1 = ∠3

1 + 2 = ∠3 + ∠4

A = P ……………………………………। (iii)

अब, ABC और PQR में, हमारे पास है

एबी/पीक्यू = एसी/पीआर (पहले से दिया गया)

समीकरण (iii) से,

ए = पी

ABC ~ PQR [एसएएस समानता मानदंड]

15. 6 मीटर लंबा एक ऊर्ध्वाधर खंभा जमीन पर 4 मीटर लंबी छाया बनाता है और उसी समय एक मीनार की छाया 28 मीटर लंबी होती है। टावर की ऊंचाई पाएं।

समाधान:

दिया गया है, ऊर्ध्वाधर खम्भे की लंबाई = 6m

खम्भे की छाया = 4 m

माना मीनार की ऊँचाई =  h  m

मीनार की छाया की लंबाई = 28 m

ABC और DEF में,

∠C = E (योग का कोणीय उन्नयन)

B = F = 90°

ABC ~ DEF (AA ​​समानता मानदंड)

AB/DF = BC/EF (यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं)

∴ 6/एच = 4/28

h = (6×28)/4

एच   = 6 × 7

एच  = 42  एम

अत: मीनार की ऊँचाई 42 m है।

16. यदि AD और PM क्रमशः त्रिभुज ABC और PQR की माध्यिकाएँ हैं, जहाँ ABC ~ PQR सिद्ध करता है कि AB/PQ = AD/PM है।

समाधान:

दिया गया है, ABC ~ PQR

हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

AB/PQ = AC/PR = BC/QR ……………………………(i )

साथ ही, A = P, B = Q, ∠C = R ……………….. (ii)

चूँकि AD और PM माध्यिकाएँ हैं, वे अपनी विपरीत भुजाओं को विभाजित करेंगे।

बीडी = बीसी/2 और क्यूएम = क्यूआर/2 ………………………। (iii)

समीकरण  (i)  और  (iii) से, हम प्राप्त करते हैं

एबी/पीक्यू = बीडी/क्यूएम ……………………….(iv)

ABD और PQM में,

समीकरण (ii) से, हमारे पास है

बी = क्यू

समीकरण  (iv) से, हमारे पास है,

एबी/पीक्यू = बीडी/क्यूएम

ABD ~ PQM (एसएएस समानता मानदंड)

AB/PQ = BD/QM = AD/PM

व्यायाम 6.4 पृष्ठ: 143

1. माना ABC ~ DEF और उनका क्षेत्रफल क्रमशः 64 सेमी 2  और 121 सेमी 2 है। यदि EF = 15.4 सेमी है, तो BC ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है, ABC ~ DEF,

ABC का क्षेत्रफल = 64 सेमी 2

DEF का क्षेत्रफल = 121 सेमी 2

ईएफ = 15.4 सेमी

जैसा कि हम जानते हैं, यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है,

= एसी 2 /डीएफ 2  = बीसी 2 /ईएफ 2

∴ 64/121 = ईसा पूर्व 2 /ईएफ 2

(8/11) 2  = (ईसा पूर्व/15.4) 2

⇒ 8/11 = ईसा पूर्व/15.4

ईसा पूर्व = 8×15.4/11

ईसा पूर्व = 8 × 1.4

ईसा पूर्व = 11.2 सेमी

2. AB के साथ एक समलम्ब ABCD के विकर्ण || DC एक दूसरे को बिंदु O पर काटती है। यदि AB = 2CD है, तो त्रिभुज AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया गया है, ABCD एक समलंब है जिसमें AB || डीसी. विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु O पर काटते हैं।

AOB और COD में, हमारे पास है

∠1 = ∠2 (वैकल्पिक कोण)

∠3 = ∠4 (वैकल्पिक कोण)

∠5 = ∠6 (ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण)

AOB ~ COD [एएए समानता मानदंड]

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए,

(ΔAOB) का क्षेत्रफल/(ΔCOD) का क्षेत्रफल = AB 2 /CD 2

= (2CD) 2 /CD 2  [∴ AB = 2CD]

(ΔAOB) का क्षेत्रफल/(ΔCOD) का क्षेत्रफल

= 4सीडी 2 /सीडी 2 = 4/1

अत: AOB और COD के क्षेत्रफल का अभीष्ट अनुपात = 4:1

3. आकृति में, ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज हैं। यदि AD, BC को O पर काटता है, तो दर्शाइए कि क्षेत्रफल (ΔABC)/क्षेत्रफल (ΔDBC) = AO/DO है।

समाधान:

दिया गया है, ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज हैं। AD, BC को O पर काटता है।

हमें सिद्ध करना है: क्षेत्रफल (ΔABC)/क्षेत्रफल (ΔDBC) = AO/DO

आइए हम रेखा BC पर दो लंब AP और DM खींचते हैं।

हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

APO और DMO में,

APO = DMO (प्रत्येक 90°)

AOP = DOM (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)

APO ~ DMO (AA समानता मानदंड)

एपी/डीएम = एओ/डीओ

क्षेत्रफल (ΔABC)/क्षेत्र (ΔDBC) = AO/DO।

4. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वे सर्वांगसम हैं।

समाधान:

मान लीजिए ABC और PQR दो समरूप त्रिभुज हैं और क्षेत्रफल में बराबर हैं

आइए अब हम ABC PQR सिद्ध करें।

चूँकि, ABC ~ PQR

(ΔABC) का क्षेत्रफल/(ΔPQR) का क्षेत्रफल = BC 2 /QR 2

BC 2 /QR 2  =1 [चूंकि, क्षेत्रफल(ΔABC) = (ΔPQR)

⇒ ईसा पूर्व 2 / क्यूआर 2

बीसी = क्यूआर

इसी प्रकार, हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि

एबी = पीक्यू और एसी = पीआर

अत: ABC PQR [सर्वांगसमता की SSS कसौटी]

5. D, E और F क्रमशः AABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु हैं। DEF और ABC के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया गया है, D, E और F क्रमशः ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु हैं।

ABC में,

F, AB का मध्य-बिंदु है (पहले ही दिया जा चुका है)

E, AC का मध्य-बिंदु है (पहले ही दिया जा चुका है)

तो, मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा, हमारे पास है,

एफई || BC और FE = 1/2BC

⇒ एफई || बीसी और एफई || बीडी [बीडी = 1/2बीसी]

चूँकि, समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान और समांतर होती हैं

BDEF समांतर चतुर्भुज है।

इसी प्रकार, FBD और DEF में, हमारे पास है

FB = DE (समानांतर चतुर्भुज BDEF की विपरीत भुजाएँ)

FD = FD (सामान्य पक्ष)

BD = FE (समानांतर चतुर्भुज BDEF की विपरीत भुजाएँ)

FBD ≅ DEF

इसी प्रकार, हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि

AFE DEF

ईडीसी डीईएफ़

जैसा कि हम जानते हैं, यदि त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, तो वे क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।

इसलिए,

क्षेत्र (ΔFBD) = क्षेत्र (ΔDEF) …………………………… (i)

क्षेत्र (ΔAFE) = क्षेत्र (ΔDEF) ………………………। (ii)

तथा,

क्षेत्र (ΔEDC) = क्षेत्र (ΔDEF) …………………………। (iii)

अभी,

क्षेत्र (ΔABC) = क्षेत्रफल (ΔFBD) + क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔAFE) + क्षेत्र (ΔEDC) ……… (iv)

क्षेत्र (ΔABC) = क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF)

समीकरण (i) ,  (ii)  और  (iii) से,

क्षेत्रफल(ΔDEF) = (1/4)क्षेत्र(ΔABC)

क्षेत्र(ΔDEF)/क्षेत्र(ΔABC) = 1/4

अत: क्षेत्रफल(ΔDEF): क्षेत्रफल(ΔABC) = 1:4

6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

समाधान:

दिया गया है: AM और DN क्रमशः त्रिभुज ABC और DEF की माध्यिकाएँ हैं और ABC ~ DEF।

हमें सिद्ध करना है: क्षेत्रफल(ΔABC)/क्षेत्र(ΔDEF) = AM 2 /DN 2

चूँकि, ABC ~ DEF (दिया है)

क्षेत्रफल(ΔABC)/क्षेत्र(ΔDEF) = (AB 2 /DE 2 ) ………………………………… (i)

और, एबी/डीई = बीसी/ईएफ = सीए/एफडी ……………………………………… (ii)

ABM और DEN में,

चूँकि ABC ~ DEF

B = E

AB/DE = BM/EN [पहले से ही समीकरण  (i) में सिद्ध हो चुका है ]

ABC ~ DEF [एसएएस समानता मानदंड]

एबी/डीई = एएम/डीएन ……………………………………………….. (iii)

एबीएम ~ डेन

चूँकि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के समानुपाती होते हैं।

क्षेत्र(ΔABC)/क्षेत्र(ΔDEF) = AB 2 /DE 2  = AM 2 /DN 2

इसलिए सिद्ध किया।

7. सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की एक भुजा पर वर्णित समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके एक विकर्ण पर वर्णित समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के आधे के बराबर होता है।

समाधान:

दिया गया है, ABCD एक वर्ग है जिसका एक विकर्ण AC है। APC और BQC वर्ग ABCD के विकर्णों AC और भुजा BC पर वर्णित दो समबाहु त्रिभुज हैं।

क्षेत्रफल(ΔBQC) = ½ क्षेत्रफल(ΔAPC)

चूँकि, APC और BQC दोनों समबाहु त्रिभुज हैं, दिए गए अनुसार,

APC ~ BQC [एएए समानता मानदंड]

क्षेत्र(ΔAPC)/क्षेत्र(ΔBQC) = (AC 2 /BC 2 ) = AC 2 /BC 2

चूँकि विकर्ण = 2 भुजा = 2 BC = AC

क्षेत्र (ΔAPC) = 2 × क्षेत्र (ΔBQC)

क्षेत्र (ΔBQC) = 1/2 क्षेत्र (ΔAPC)

इसलिए सिद्ध किया।

सही उत्तर पर निशान लगाएँ और औचित्य सिद्ध करें:

8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D, BC का मध्य-बिंदु है। त्रिभुज ABC और BDE के क्षेत्रफल का अनुपात है
(A) 2: 1
(B) 1: 2
(C) 4: 1
(D) 1: 4

समाधान:

दिया है , ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज हैं। D, BC का मध्यबिंदु है।

 

बीडी = डीसी = 1/2BC

माना त्रिभुज की प्रत्येक भुजा 2 a है ।

जैसे, ABC ~ BDE

क्षेत्रफल(ΔABC)/क्षेत्र(ΔBDE) = AB 2 /BD 2  = (2 a ) 2 /( a ) 2  = 4 a 2 / a 2  = 4/1 = 4:1

इसलिए, सही उत्तर है (सी)।

9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफल अनुपात में हैं
(A) 2:3
(B) 4:9
(C) 81:16
(D) 16:81

समाधान:

दिया गया है, दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं।

माना ABC और DEF दो समरूप त्रिभुज हैं, जैसे कि,

एबीसी ~ डीईएफ

और एबी/डीई = एसी/डीएफ = बीसी/ईएफ = 4/9

चूँकि इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होगा,

∴ क्षेत्र(ΔABC)/क्षेत्र(ΔDEF) = AB 2 /DE 2 

∴ क्षेत्र(ΔABC)/क्षेत्र(ΔDEF) = (4/9) 2  = 16/81 = 16:81

इसलिए, सही उत्तर है (डी)।

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Exercise - 6.5 पृष्ठ: 150

1. त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित करें कि उनमें से कौन सा समकोण त्रिभुज हैं? एक समकोण त्रिभुज की स्थिति में, उसके कर्ण की लंबाई लिखिए।

(i) 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी
(ii) 3 सेमी, 8 सेमी, 6 सेमी
(iii) 50 सेमी, 80 सेमी, 100 सेमी
(iv) 13 सेमी, 12 सेमी, 5 सेमी

समाधान:

(i) दिया गया है, त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 24 सेमी और 25 सेमी हैं।

भुजाओं की लंबाई का वर्ग करने पर हमें 49, 576 और 625 प्राप्त होंगे।

49 + 576 = 625

(7) 2  + (24) 2  = (25) 2

इसलिए, उपरोक्त समीकरण पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है। अत: यह समकोण त्रिभुज है।

कर्ण की लंबाई = 25 सेमी

(ii) दिया गया है, त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 8 सेमी और 6 सेमी हैं।

इन भुजाओं की लंबाई का वर्ग करने पर हमें 9, 64 और 36 प्राप्त होंगे।

स्पष्ट रूप से, 9 + 36 ≠ 64

या, 3 2  + 6 2  8 2

इसलिए, दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर नहीं होता है।

अत: दिया गया त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।

(iii) दिया गया है, त्रिभुज की भुजाएँ 50 सेमी, 80 सेमी और 100 सेमी हैं।

इन भुजाओं की लंबाई का वर्ग करने पर हमें 2500, 6400 और 10000 प्राप्त होंगे।

हालांकि, 2500 + 6400 10000

या, 50 2  + 80 2  100 2

जैसा कि आप देख सकते हैं, दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों का योग तीसरी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर नहीं होता है।

अत: दिया गया त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।

अत: यह एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iv) दिया गया है, भुजाएँ 13 सेमी, 12 सेमी और 5 सेमी हैं।

इन भुजाओं की लंबाई का वर्ग करने पर हमें 169, 144 और 25 प्राप्त होंगे।

अत: 144 +25 = 169

या, 12 2  + 5 2  = 13 2

दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं।

अतः यह एक समकोण त्रिभुज है।

अत: इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई 13 सेमी है।

 

2. PQR एक त्रिभुज है, जिसका P पर समकोण है और M, QR पर एक बिंदु इस प्रकार है कि PM QR है। दिखाएँ कि PM 2  = QM × MR।

समाधान:

दिया गया है, PQR, P पर समकोण है, QR पर एक ऐसा बिंदु है कि PM ⊥QR

हमें सिद्ध करना है, PM 2  = QM × MR

PQM में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

पीक्यू 2  = पीएम 2  + क्यूएम 2

या, पीएम 2  = पीक्यू 2  - क्यूएम 2  ………………………….. (i)

PMR में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

पीआर 2  = पीएम 2  + एमआर 2

या, पीएम 2  = पीआर 2  - एमआर 2  …………………………………….. (ii)

समीकरण, (i)  और  (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

2PM 2  = (PQ 2  + PM 2 ) - (QM 2  + MR 2 )

= क्यूआर 2  - क्यूएम 2  - एमआर 2         [∴ क्यूआर 2  = पीक्यू 2  + पीआर 2 ]

= (क्यूएम + एमआर) 2  - क्यूएम 2  - एमआर 2

= 2क्यूएम × एमआर

पीएम 2  = क्यूएम × एमआर

3. आकृति में, ABD A और AC BD पर समकोण त्रिभुज है। दर्शाइए कि
(i) AB 2  = BC × BD
(ii) AC 2  = BC × DC
(iii) AD 2  = BD × CD

 

समाधान:

(i) ADB और CAB में,

DAB = ACB (प्रत्येक 90°)

ABD = CBA (उभय कोण)

ΔADB ~ CAB [AA समानता मानदंड]

एबी/सीबी = बीडी/एबी

एबी 2  = सीबी × बीडी

(ii) माना CAB = x

CBA में,

CBA = 180° – 90° – x

CBA = 90° - x

इसी प्रकार, CAD . में

CAD = 90° - CBA

= 90° -  x

CDA = 180° - 90° - (90° - x)

सीडीए = एक्स

CBA और CAD में, हमारे पास है

सीबीए = सीएडी

सीएबी = ∠सीडीए

ACB = DCA (प्रत्येक 90°)

CBA ~ CAD [एएए समानता मानदंड]

एसी/डीसी = बीसी/एसी

⇒ एसी 2  = डीसी × बीसी

(iii) DCA और DAB में,

DCA = DAB (प्रत्येक 90°)

CDA = ADB (उभय कोण)

DCA ~ DAB [AA समानता मानदंड]

डीसी/डीए = डीए/डीए

एडी 2  = बीडी × सीडी

4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C है। सिद्ध कीजिए कि AB 2  = 2AC 2  है।

समाधान:

दिया गया है, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C है।

ΔACB में, C = 90°

एसी = बीसी (समद्विबाहु त्रिभुज संपत्ति द्वारा)

AB 2  = AC 2  + BC 2  [पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]

= एसी 2  + एसी 2  [चूंकि, एसी = बीसी]

एबी 2  = 2एसी 2

5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB 2  = 2AC 2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।

समाधान:

दिया गया है, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC और AB 2  = 2AC 2 . है

ΔACB में,

एसी = बीसी

एबी 2  = 2एसी 2

एबी 2  = एसी 2  + एसी 2

= एसी 2  + बीसी 2  [चूंकि, एसी = बीसी]

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार ABC समकोण त्रिभुज है।

6. ABC भुजा 2a का एक समबाहु त्रिभुज है। इसकी प्रत्येक ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

समाधान:

दिया गया है, ABC भुजा 2a का एक समबाहु त्रिभुज है।

ड्रा, AD BC

ADB और ADC में,

एबी = एसी

एडी = एडी

ADB = ADC [दोनों 90° हैं]

इसलिए, RHS सर्वांगसमता द्वारा ADB ADC।

इसलिए, बीडी = डीसी [सीपीसीटी द्वारा]

समकोण ADB में,

एबी 2  = एडी 2  + बीडी 2

(2 ए ) 2  = एडी 2  +  ए 2 

AD 2 = 4 a 2  -  a 2

AD 2 = 3 a 2

एडी =  √3a

7. सिद्ध कीजिए कि समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

समाधान:

दिया गया है, ABCD एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

हमें प्रश्न के अनुसार सिद्ध करना है,

एबी 2  + बीसी 2  + सीडी 2  + एडी 2  = एसी 2  + बीडी 2

चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

इसलिए, एओ = सीओ और बीओ = डीओ

ΔAOB में,

AOB = 90°

एबी 2  = एओ 2  + बीओ 2  ……………………..  (i)  [पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]

इसी तरह,

एडी 2  = एओ 2  + डीओ 2  ………………..  (ii)

डीसी 2  = डीओ 2  + सीओ 2  ………………..  (iii)

बीसी 2  = सीओ 2  + बीओ 2  ……………………..  (iv)

समीकरणों  (i) + (ii) + (iii) + (iv) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एबी 2  + एडी 2  +  डीसी 2  +  बीसी 2  = 2 (एओ 2  + बीओ 2  + डीओ 2  + सीओ 2 )

= 4AO 2  + 4BO 2  [चूंकि, AO = CO और BO =DO]

= (2AO) 2  + (2BO) 2  = AC 2  + BD 2

एबी 2  + एडी 2  +  डीसी 2  +  बीसी 2  = एसी 2  + बीडी 2

इसलिए सिद्ध किया।

8. आकृति 6.54 में, 0 त्रिभुज के अभ्यंतर में एक बिंदु है।

ABC, OD BC, OE AC और OF AB। दर्शाइए कि:
(i) OA 2  + OB 2  + OC 2  - OD 2  - OE 2  - OF 2  = AF 2  + BD 2  + CE 2  ,
(ii) AF 2  + BD 2  + CE 2  = AE 2  + CD 2  + बीएफ 2 ।

समाधान:

दिया गया है, ABC में, O एक त्रिभुज के अभ्यंतर में एक बिंदु है।

और OD ⊥ BC, OE AC और OF AB।

OA, OB और OC को मिलाइए

(i) AOF में पाइथागोरस प्रमेय से, हमारे पास है

ओए 2  = ओएफ 2  + एएफ 2

इसी प्रकार, BOD . में

ओबी 2  = ओडी 2  + बीडी 2

इसी प्रकार, COE . में

ओसी 2  = ओई 2  + ईसी 2

इन समीकरणों को जोड़ने पर,

ओए 2  + ओबी 2  + ओसी 2  = ओएफ 2  + एएफ 2  + ओडी 2  + बीडी 2  + ओई 2  + ईसी 2

ओए 2  + ओबी 2  + ओसी 2  - ओडी 2  - ओई 2  - ओएफ 2  = एएफ 2  + बीडी 2  + सीई 2 ।

(ii) एएफ 2  + बीडी 2  + ईसी 2  = (ओए 2  - ओई 2 ) + (ओसी 2  - ओडी 2 ) + (ओबी 2  - 2 का )

एएफ 2  + बीडी 2  + सीई 2  = एई 2  + सीडी 2  + बीएफ 2 ।

9. 10 मीटर लंबी एक सीढ़ी जमीन से 8 मीटर ऊपर एक खिड़की तक पहुंचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के पाद की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया गया है, 10 मीटर लंबी एक सीढ़ी जमीन से 8 मीटर ऊपर एक खिड़की तक पहुंचती है।

माना BA दीवार है और AC सीढ़ी है,

इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

एसी 2  =  एबी 2  + बीसी 2

10 2  = 8 2  + ईसा पूर्व 2

ईसा पूर्व 2  = 100 - 64

ईसा पूर्व 2  = 36

ईसा पूर्व  = 6m

अत: दीवार के आधार से सीढ़ी के पाद की दूरी 6 m है।

10. 18 मीटर ऊंचाई के एक ऊर्ध्वाधर खंभे से जुड़ा एक पुरुष तार 24 मीटर लंबा है और दूसरे छोर से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से कितनी दूरी पर खम्भे को चलाया जाना चाहिए जिससे तार तना हुआ हो?

समाधान:

दिया गया है, 18 मीटर ऊंचाई के एक ऊर्ध्वाधर पोल से जुड़ा एक पुरुष तार 24 मीटर लंबा है और दूसरे छोर से जुड़ा हुआ है।

मान लीजिए AB ध्रुव है और AC तार है।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

एसी 2  =  एबी 2  + बीसी 2

24 2  = 18 2  + ईसा पूर्व 2

ईसा पूर्व 2  = 576 - 324

ईसा पूर्व 2  = 252

ईसा पूर्व  = 6√7m

अत: आधार से दूरी 6√7m है।

11. एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से निकलता है और 1,000 किमी प्रति घंटे की गति से उत्तर की ओर उड़ता है। उसी समय, एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे को छोड़ देता है और पश्चिम की ओर 1,200 किमी प्रति घंटे की गति से उड़ान भरता है। घंटों बाद दोनों विमान कितने दूर होंगे
  ?

समाधान:

दिया गया,

पहले हवाई जहाज की गति = 1000 किमी/घंटा

उत्तर की ओर उड़ान भरने वाले पहले हवाई जहाज द्वारा घंटों (OA) में तय की गई दूरी
  = 1000 × 3/2 किमी = 1500 किमी

दूसरे हवाई जहाज की गति = 1200 किमी/घंटा

पश्चिम की ओर उड़ने वाले दूसरे हवाई जहाज द्वारा
  घंटों में तय की गई दूरी (OB) = 1200 × 3/2 किमी = 1800 किमी

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा समकोण ΔAOB में,

एबी 2  =  एओ 2  + ओबी 2

एबी 2  =  (1500) 2  + (1800) 2

एबी = (2250000 + 3240000)

= 5490000

एबी = 300√61 किमी

अत: दो वायुयानों के बीच की दूरी 300√61 km होगी।

12. 6 मी और 11 मी ऊँचाई वाले दो खम्भे समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि खम्भों के पैरों के बीच की दूरी 12 मीटर है, तो उनके शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया गया है, 6 मीटर और 11 मीटर ऊंचाई वाले दो खंभे एक समतल जमीन पर खड़े हैं।

और डंडे के पैरों के बीच की दूरी 12 मीटर है।

मान लीजिए AB और CD 6 मी और 11 मी ऊँचाई के खम्भे हैं।

इसलिए, CP = 11 - 6 = 5m

चित्र से यह देखा जा सकता है कि AP = 12m

APC के लिए पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं,

एपी 2  =  पीसी 2  + एसी 2

(12 मी) 2  + (5मी) 2  = (एसी) 2

एसी 2  = (144+25) मीटर 2  = 169 मीटर 2

एसी = 13m

इसलिए, उनके शीर्षों के बीच की दूरी 13 मीटर है।

13. D और E एक त्रिभुज ABC की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः C पर समकोण पर स्थित बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि AE 2  + BD 2  = AB 2  + DE 2 ।

समाधान:

दिया गया है, D और E एक त्रिभुज ABC की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः C पर समकोण पर स्थित बिंदु हैं।

ACE में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हम प्राप्त करते हैं

एसी 2  +  सीई 2  = एई 2  …………………………………। (मैं)

BCD में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हम प्राप्त करते हैं

बीसी 2  +  सीडी 2  = बीडी 2  ……………………….. (ii)

समीकरणों  (i)  और  (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,

एसी 2  +  सीई 2  + बीसी 2  +  सीडी 2  = एई 2  + बीडी 2  …………….. (iii)

CDE में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हम प्राप्त करते हैं

डीई 2  =  सीडी 2  + सीई 2

ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं

एबी 2  =  एसी 2  + सीबी 2

उपरोक्त दो मानों को समीकरण  (iii) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है

डीई 2  + एबी 2  = एई 2  + बीडी 2 ।

14. ABC की भुजा BC पर A से लम्ब BC को D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि 2AB 2  = 2AC 2  + BC 2 ।

समाधान:

दिया गया है, ABC की भुजा BC पर A से लम्ब BC को D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि;

डीबी = 3सीडी।

Δ ABC में,

AD BC और BD = 3CD

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा समकोण त्रिभुज, ADB और ADC में,

एबी 2  =  एडी 2  + बीडी 2  ………………………। (मैं)

एसी 2  =  एडी 2  + डीसी 2  ………………………….. (ii)

समीकरण  (ii)  को समीकरण  (i ) से घटाने पर , हम प्राप्त करते हैं

एबी 2  - एसी 2  = बीडी 2  - डीसी 2

= 9CD 2  - CD 2  [चूंकि, BD = 3CD]

= 8सीडी 2

= 8(बीसी/4) 2  [चूंकि, बीसी = डीबी + सीडी = 3सीडी + सीडी = 4सीडी]

इसलिए, एबी 2  - एसी 2 =  बीसी 2/2

2 (एबी 2  - एसी 2 ) = बीसी 2

⇒ 2AB 2  - 2AC 2  = BC 2

∴ 2AB 2  = 2AC 2  + BC 2 ।

15. एक समबाहु त्रिभुज ABC में, D BC पर एक बिंदु इस प्रकार है कि BD = 1/3BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD 2  = 7AB 2 ।

समाधान:

दिया गया है, ABC एक समबाहु त्रिभुज है।

और D, BC पर एक बिंदु इस प्रकार है कि BD = 1/3BC

माना समबाहु त्रिभुज की भुजा  a , और AE ABC की ऊंचाई है।

बीई = ईसी = बीसी/2 = ए/2

और, AE = a√3/2

दिया गया है, BD = 1/3BC

बीडी = ए/3

डीई = बीई - बीडी = ए/2 - ए/3 = ए/6

ADE में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

एडी 2  = एई 2  + डीई 2 

9 ईस्वी 2  = 7 एबी 2

16. एक समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि एक भुजा के वर्ग का तीन गुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुना के बराबर होता है।

समाधान:

दिया गया है, एक समबाहु त्रिभुज मान लीजिए ABC,

माना समबाहु त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई a है, और AE ABC की ऊंचाई है।

बीई = ईसी = बीसी/2 = ए/2

ABE में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हम प्राप्त करते हैं

एबी 2  = एई 2  + बीई 2

4AE 2  = 3a 2

⇒ 4 × (ऊंचाई का वर्ग) = 3 × (एक भुजा का वर्ग)

इसलिए सिद्ध किया।

17. सही उत्तर पर निशान लगाएँ और औचित्य सिद्ध करें: ABC में, AB = 6√3 सेमी, AC = 12 सेमी और BC = 6 सेमी।
कोण बी है:
(ए) 120 डिग्री

(बी) 60 डिग्री
(सी) 90 डिग्री 

(डी) 45 डिग्री

समाधान:

दिया गया है, ABC में, AB = 6√3 सेमी, AC = 12 सेमी और BC = 6 सेमी।

हम देख सकते हैं कि,

एबी 2  = 108

एसी 2  = 144

और, ईसा पूर्व 2  = 36

एबी 2  + बीसी 2  = एसी 2

दिया गया त्रिभुज, ABC, पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।

इसलिए, त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, जो B पर समकोण है।

B = 90°

इसलिए, सही उत्तर है (सी)।

---

Exercise - 6.6 पृष्ठ: 1

1. आकृति में, PS, PQR के QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि QS/PQ = SR/PR

समाधान:

 दिया गया है: PQR एक त्रिभुज है और PS, QPR   का आंतरिक  समद्विभाजक है

एस पर क्यूआर बैठक

क्यूपीएस =  एसपीआर

साबित करना: 

 निर्माण: टी पर उत्पादित क्यूपी को काटने के लिए आरटी एसपी बनाएं  ।

प्रमाण: चूँकि PS   TR और PR उन्हें काटते हैं, इसलिए,

एसपीआर =  पीआरटी ………। (i) [वैकल्पिक  एस]

और  क्यूपीएस =  पीटीआर ………। (ii) [इसी प्रकार  ]

लेकिन  क्यूपीएस =  एसपीआर$\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">जी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">वी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एन</span></span>}$

पीआरटी =  पीटीआर गलत

पीटी = पीआर ………. (iii)

$\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एस</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">डी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एस</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">पी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">पी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एस</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">टी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">टी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">क्यू</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">तुम</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एन</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">जी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एस</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">आर</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">क्यू</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">तुम</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}$

अब,  क्यूआरटी में,

आरटी   एसपी$\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">बी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">आप</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">सी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एन</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एस</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">टी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">आर</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">तुम</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">सी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">टी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एन</span></span>}$

$\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">टी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एच</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एस</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">टी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एच</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">आर</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एम</span></span>}$

$\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एफ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">आर</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एम</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">क्यू</span></span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">.</span></span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">)</span></span>$

$<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><br></span></span>$

2. आकृति 6.57 में, AABC के कर्ण AC पर D एक बिंदु है, जिससे BD ⊥AC, DM BC और DN AB। सिद्ध कीजिए कि: (i) डीएम 2 = डीएन। एमसी (ii) डीएन 2 = डीएम। एक।

समाधान:

1. आइए बिंदु D और B को मिलाएँ।

दिया गया,

बीडी ⊥एसी, डीएम बीसी और डीएन ⊥एबी

अब हमारे पास जो आंकड़ा है, उससे

डीएन || सीबी, डीएम || AB और B = 90 °

अत: डीएमबीएन एक आयत है।

तो, डीएन = एमबी और डीएम = एनबी

दी गई शर्त जिसे हमें सिद्ध करना है, वह है जब D, B से AC पर खींचे गए लंब का पाद है।

सीडीबी = 90° 2 + 3 = 90° ……………. (मैं)

∆CDM में, ∠1 + 2 + DMC = 180°

1 + ∠2 = 90° …………………………………….. (ii)

DMB में, 3 + DMB + ∠4 = 180°

3 + 4 = 90° …………………………………….. (iii)

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

∠1 = 3

समीकरण (i) और (iii) से, हम प्राप्त करते हैं

2 = ∠4

DCM और BDM में,

∠1 = 3 (पहले से सिद्ध)

∠2 = 4 (पहले से सिद्ध)

DCM BDM (AA समानता मानदंड)

बीएम/डीएम = डीएम/एमसी

डीएन/डीएम = डीएम/एमसी (बीएम = डीएन)

डीएम 2 = डीएन × एमसी

इसलिए सिद्ध किया।

(ii) समकोण त्रिभुज DBN में,

5 + ∠7 = 90° ……………….. (iv)

समकोण त्रिभुज DAN में,

6 + ∠8 = 90° ………………… (v)

D त्रिभुज का वह बिंदु है, जो B से AC पर खींचे गए लंब का पाद है।

ADB = 90° 5 + ∠6 = 90° …………….. (vi)

समीकरण (iv) और (vi) से, हम प्राप्त करते हैं,

6 = ∠7

समीकरण (v) और (vi) से, हम प्राप्त करते हैं,

8 = ∠5

DNA और BND में,

6 = 7 (पहले ही साबित हो चुका है)

8 = 5 (पहले ही साबित हो चुका है)

DNA BND (AA समानता मानदंड)

एएन/डीएन = डीएन/एनबी

डीएन 2 = एएन × एनबी

डीएन 2 = एएन × डीएम (चूंकि, एनबी = डीएम)

इसलिए सिद्ध किया।

3. आकृति में, ABC एक त्रिभुज है जिसमें ABC > 90° और AD CB उत्पन्न होता है। साबित करें कि

एसी 2 = एबी 2 + बीसी 2 + 2 बीसी.बीडी।

समाधान:

ADB में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एबी 2 = एडी 2 + डीबी 2 ……………………… (i)

पुन: ACD में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एसी 2 = एडी 2 + डीसी 2

एसी 2 = एडी 2 + (डीबी + बीसी) 2

एसी 2 = एडी 2 + डीबी 2 + बीसी 2 + 2 डीबी × बीसी

समीकरण (i) से हम लिख सकते हैं,

एसी 2 = एबी 2 + बीसी 2 + 2डीबी × बीसी

इसलिए सिद्ध किया।

4. आकृति में, ABC एक त्रिभुज है जिसमें ABC <90° और AD BC है। साबित करें कि

एसी 2 = एबी 2 + बीसी 2 - 2 बीसी.बीडी।

समाधान:

ADB में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एबी 2 = एडी 2 + डीबी 2

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं;

AD 2 = AB 2 - DB 2 ……………….. (i)

ADC में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एडी 2 + डीसी 2 = एसी 2

समीकरण (i) से,

एबी 2 - बीडी 2 + डीसी 2 = एसी 2

एबी 2 - बीडी 2 + (बीसी - बीडी) 2 = एसी 2

एसी 2 = एबी 2 - बीडी 2 + बीसी 2 + बीडी 2 -2 बीसी × बीडी

एसी 2 = एबी 2 + बीसी 2 - 2बीसी × बीडी

इसलिए सिद्ध किया।

5. आकृति में, AD एक त्रिभुज ABC और AM BC की माध्यिका है। साबित करें कि :

(i) एसी 2 = एडी 2 + बीसी। डीएम + 2 (बीसी/2) 2

(ii) एबी 2 = एडी 2 - बीसी। डीएम + 2 (बीसी/2) 2

(iii) एसी 2 + एबी 2 = 2 एडी 2 + ½ बीसी 2

समाधान:

(i) AMD में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एएम 2 + एमडी 2 = एडी 2 ………………। (मैं)

पुन: AMC में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एएम 2 + एमसी 2 = एसी 2

एएम 2 + (एमडी + डीसी) 2 = एसी 2

(एएम 2 + एमडी 2 ) + डीसी 2 + 2एमडी.डीसी = एसी 2

समीकरण (i) से, हम प्राप्त करते हैं,

एडी 2 + डीसी 2 + 2 एमडी। डीसी = एसी 2

चूँकि, DC=BC/2, इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं,

एडी 2 + (बीसी/2) 2 + 2 एमडी। (बीसी/2) 2 = एसी 2

AD 2 + (BC/2) 2 + 2MD × BC = AC 2

इसलिए सिद्ध किया।

(ii) ABM में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं;

एबी 2 = एएम 2 + एमबी 2

= (एडी 2 - डीएम 2 ) + एमबी 2

= (एडी 2 - डीएम 2 ) + (बीडी - एमडी) 2

= एडी 2 - डीएम 2 + बीडी 2 + एमडी 2 - 2बीडी × एमडी

= एडी 2 + बीडी 2 - 2बीडी × एमडी

= एडी 2 + (बीसी/2) 2 - 2 (बीसी/2) एमडी

= एडी 2 + (बीसी/2) 2 - बीसी एमडी

इसलिए सिद्ध किया।

(iii) ABM में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एएम 2 + एमबी 2 = एबी 2 ………………….… (i)

AMC में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एएम 2 + एमसी 2 = एसी 2 …………………..… (ii)

समीकरण (i) और (ii) दोनों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

2AM 2 + एमबी 2 + एमसी 2 = एबी 2 + एसी 2

2AM 2 + (BD - DM) 2 + (MD + DC) 2 = AB 2 + AC 2

2AM 2 +BD 2 + DM 2 - 2BD.DM + MD 2 + DC 2 + 2MD.DC = AB 2 + AC 2

2AM 2 + 2MD 2 + BD 2 + DC 2 + 2MD (- BD + DC) = AB 2 + AC 2

2(AM 2 + MD 2 ) + (BC/2) 2 + (BC/2) 2 + 2MD (-BC/2 + BC/2) 2 = AB 2 + AC 2

2 एडी 2 + बीसी 2/2 = एबी 2 + एसी 2

6. सिद्ध कीजिए कि समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

समाधान:

मान लीजिए, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। अब, AB की विस्तारित भुजा पर लम्ब DE खींचिए, और बिंदु F पर DC को मिलाते हुए एक लंब AF खींचिए।

DEA में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

डीई 2 + ईए 2 = डीए 2 ……………….… (i)

DEB में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

डीई 2 + ईबी 2 = डीबी 2

डीई 2 + (ईए + एबी) 2 = डीबी 2

(डीई 2 + ईए 2 ) + एबी 2 + 2ईए × एबी = डीबी 2

डीए 2 + एबी 2 + 2ईए × एबी = डीबी 2 ……………। (ii)

ADF में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एडी 2 = एएफ 2 + एफडी 2

पुन: AFC में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एसी 2 = एएफ 2 + एफसी 2 = एएफ 2 + (डीसी - एफडी) 2

= AF 2 + DC 2 + FD 2 - 2DC × FD

= (AF 2 + FD 2 ) + DC 2 - 2DC × FD AC 2

एसी 2 = एडी 2 + डीसी 2 -2 डीसी × एफडी ………………… (iii)

चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है,

एबी = सीडी …………………… (iv)

और बीसी = एडी ………………। (वी)

DEA और ADF में,

DEA = AFD (प्रत्येक 90°)

EAD = ADF (EA || DF)

AD = AD (उभय कोण)

EAD FDA (AAS सर्वांगसमता मानदंड)

ईए = डीएफ ……………… (vi)

समीकरण (i) और (iii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

डीए 2 + एबी 2 + 2ईए × एबी + एडी 2 + डीसी 2 - 2डीसी × एफडी = डीबी 2 + एसी 2

डीए 2 + एबी 2 + एडी 2 + डीसी 2 + 2ईए × एबी -2 डीसी × एफडी = डीबी 2 + एसी 2

समीकरण (iv) और (vi) से,

बीसी 2 + एबी 2 + एडी 2 + डीसी 2 + 2ईए × एबी -2AB × ईए = डीबी 2 + एसी 2

एबी 2 + बीसी 2 + सीडी 2 + डीए 2 = एसी 2 + बीडी 2

7. आकृति में, दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे को बिंदु P पर काटती हैं। सिद्ध कीजिए कि :

(i) APC ~ DPB

(ii) एपी। पीबी = सीपी। डी पी

समाधान:

सबसे पहले, आइए दिए गए चित्र में CB को शामिल करें।

(i) ∆APC और DPB में,

∠APC = DPB (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)

CAP = BDP (जीवा CB के लिए एक ही खंड में कोण)

इसलिए,

APC DPB (AA समानता मानदंड)

(ii) उपरोक्त में, हमने सिद्ध किया है कि APC DPB

हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

एपी/डीपी = पीसी/पीबी = सीए/बीडी

एपी/डीपी = पीसी/पीबी

एपी. पीबी = पीसी। डी पी

इसलिए सिद्ध किया।

8. आकृति 6.62 में, एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे को वृत्त के बाहर बिंदु P (जब उत्पन्न होती हैं) पर प्रतिच्छेद करती हैं। साबित करें कि:

(i) पीएसी ~ ∆ पीडीबी

(ii) पीए। पीबी = पीसी। पीडी.

समाधान:

(i) PAC और PDB में,

∠P = P (उभय कोण)

जैसा कि हम जानते हैं, एक चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण ∠PCA होता है और ∠PBD सम्मुख आंतरिक कोण होता है, जो दोनों बराबर होते हैं।

PAC = PDB

इस प्रकार, PAC PDB(AA समानता मानदंड)

(ii) हम पहले ही ऊपर साबित कर चुके हैं,

एपीसी डीपीबी

हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

इसलिए,

एपी/डीपी = पीसी/पीबी = सीए/बीडी

एपी/डीपी = पीसी/पीबी

एपी। पीबी = पीसी। डी पी

9. आकृति में, D ABC की भुजा BC पर इस प्रकार एक बिंदु है कि BD/CD = AB/AC है। सिद्ध कीजिए कि AD, BAC का समद्विभाजक है।

समाधान:

दिया गया है: ABC एक त्रिभुज है और D, BC पर एक बिंदु इस प्रकार है कि  

सिद्ध करना: AD, BAC का आंतरिक समद्विभाजक है  ।

रचना: BA से E इस प्रकार बढ़ाइए कि AE = AC हो। सीई में शामिल हों।

उपपत्ति:  AEC में, क्योंकि AE = AC

एईसी =  एसीई ……….(i)

$\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एन</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">जी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एस</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">पी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">पी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एस</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">टी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">टी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">क्यू</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">तुम</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एस</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">डी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एफ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">टी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">आर</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एन</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">जी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">आर</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">क्यू</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">तुम</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}$

अभी, $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">जी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">वी</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एन</span></span>}$

[  एई = एसी, निर्माण द्वारा]

मूल आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से,

डीए   सीई

अब चूँकि CA एक तिर्यक रेखा है,

बीएडी =  एईसी ………। (ii) [संबंधित  एस]

और  DAC =  ACE ………. (iii) [वैकल्पिक  s]

साथ ही  AEC =  ACE$\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एफ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">आर</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एम</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">क्यू</span></span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">.</span></span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">)</span></span>$

इसलिए,  बीएडी =  डीएसी$\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एफ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">आर</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">हे</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एम</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">इ</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">क्यू</span></span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">.</span></span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">)</span></span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">ए</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">एन</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">डी</span></span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">मैं</span></span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; vertical-align:\; inherit;">)</span></span>$

इस प्रकार AD,  BAC को आंतरिक रूप से समद्विभाजित करता है।

10. नाजिमा एक धारा में मछली पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ी की नोक पानी की सतह से 1.8 मीटर ऊपर है और स्ट्रिंग के अंत में मक्खी 3.6 मीटर दूर और सीधे रॉड की नोक के नीचे एक बिंदु से 2.4 मीटर दूर पानी पर टिकी हुई है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (छड़ी की नोक से मक्खी तक) तनी हुई है, उसके पास कितनी डोरी निकली है (चित्र देखें)? यदि वह रस्सी को 5 सेमी प्रति सेकंड की दर से खींचती है, तो 12 सेकंड के बाद उससे मक्खी की क्षैतिज दूरी क्या होगी?

समाधान:

आइए मान लें, AB पानी की सतह से मछली पकड़ने वाली छड़ी की नोक की ऊंचाई है और BC है

मछली पकड़ने वाली छड़ी की नोक से मक्खी की क्षैतिज दूरी। अत: AC अब डोरी की लंबाई है।

AC ज्ञात करने के लिए हमें ABC में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करना होगा, यह इस प्रकार है;

एसी 2 = एबी 2 + बीसी 2

एबी 2 = (1.8 मीटर) 2 + (2.4 मीटर) 2

एबी 2 = (3.24 + 5.76) मीटर 2

एबी 2 = 9.00 मीटर 2

AB = √9 m = 3m

इस प्रकार, स्ट्रिंग आउट की लंबाई 3 मीटर है।

जैसा दिया गया है, वह 5 सेमी प्रति सेकंड की दर से डोरी खींचती है।

अतः 12 सेकंड में खींची गई डोरी = 12 × 5 = 60 सेमी = 0.6 मी

मान लीजिए अब मक्खी 12 सेकंड के बाद बिंदु D पर है।

12 सेकंड के बाद स्ट्रिंग की लंबाई AD है।

AD = AC - 12 सेकंड में नाजिमा द्वारा खींची गई स्ट्रिंग

= (3.00 - 0.6) एम

= 2.4 मी

ADB में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

एबी 2 + बीडी 2 = एडी 2

(1.8 मीटर) 2 + बीडी 2 = (2.4 मीटर) 2

बीडी 2 = (5.76 - 3.24) मीटर 2 = 2.52 मीटर 2

बीडी = 1.587 एम

मक्खी की क्षैतिज दूरी = BD + 1.2 m

= (1.587 + 1.2) मी = 2.787 मी

= 2.79 वर्ग मीटर

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