NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 7- निर्देशांक ज्यामिति

कक्षा 10 गणित अध्याय 7 के लिए एनसीईआरटी समाधान

एनसीईआरटी सॉल्यूशंस फॉर क्लास 10 मैथ्स चैप्टर 7 कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री एनसीईआरटी की पाठ्यपुस्तक में दिए गए सभी अभ्यासों को शामिल करता है। itselfu के विशेषज्ञों द्वारा तैयार किए गए ये NCERT समाधान, CBSE कक्षा 10 की टर्म I परीक्षा की तैयारी करने वाले छात्रों के लिए एक व्यापक अध्ययन सामग्री है। ये समाधान छात्रों की आसान पहुंच और डाउनलोड के लिए उपलब्ध हैं। यहां आप एनसीईआरटी की पाठ्यपुस्तक में दिए गए विभिन्न प्रकार के प्रश्नों के विस्तृत चरणवार उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। एनसीईआरटी के समाधानों का अभ्यास करने  से आपको निर्देशांक ज्यामिति अध्याय में शामिल विषयों पर पूर्णता प्राप्त करने में मदद मिलेगी।

कक्षा 10 गणित अध्याय 7 के लिए एनसीईआरटी समाधान के उत्तर देखें

Exercise - 7.1 पृष्ठ संख्या: 161

1. निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:

(i) (2, 3), (4, 1)

(ii) (-5, 7), (-1, 3)

(iii) (ए, बी), (- ए, - बी)

समाधान:

 (i) बिंदुओं (2, 3) और (4,1) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं 

डी = 

(ii) बिंदुओं (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

डी = 

(iii) बिंदुओं (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

डी = 

---

2. बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप खंड 7.2 में वर्णित दो शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं।

समाधान:

बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं 

डी =   इकाइयां

टाउन बी 36 किमी पूर्व में और शहर ए के 15 किमी उत्तर में स्थित है। इसलिए, शहर ए और बी के स्थान को इस प्रकार दिखाया जा सकता है:

स्पष्ट रूप से, बिंदु A के निर्देशांक (0, 0) हैं और बिंदु B के निर्देशांक (36, 15) हैं।

उनके बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:

डी =   किमी

3. निर्धारित करें कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) संरेख हैं।

हल: किन्हीं दो रेखाखंडों की लंबाई का योग तीसरे रेखाखंड की लंबाई के बराबर होता है तो तीनों बिंदु संरेख होते हैं।

विचार करें, ए = (1, 5) बी = (2, 3) और सी = (-2, -11)

बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाएं; एबी, बीसी और सीए कहें

चूँकि AB + BC CA

इसलिए, बिंदु (1, 5), (2, 3), और (-2, - 11) संरेख नहीं हैं!

4. जाँच कीजिए कि क्या (5, - 2), (6, 4) और (7, - 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

समाधान:

चूँकि किसी भी समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं। यह जाँचने के लिए कि दिए गए बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं या नहीं, हम सभी बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करेंगे।

मान लीजिए कि बिंदु (5, - 2), (6, 4), और (7, - 2) क्रमशः शीर्षों A, B और C को निरूपित करते हैं।

इसका तात्पर्य है, क्या दिए गए बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

5. एक कक्षा में, 4 मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हैं, जैसा कि चित्र 7.8 में दिखाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा में चलते हैं और कुछ मिनट देखने के बाद चंपा चमेली से पूछते हैं, "क्या आपको नहीं लगता कि एबीसीडी एक वर्ग है?" चमेली असहमत हैं। दूरी सूत्र का प्रयोग करते हुए ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन-सा सही है।

समाधान:

आकृति से, बिंदुओं A, B, C और D के निर्देशांक (3, 4), (6, 7), (9, 4) और (6,1) हैं।

दूरी सूत्र का उपयोग करके बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें, हम प्राप्त करते हैं

सभी भुजाएँ समान लंबाई की हैं। इसलिए, ABCD एक वर्ग है और इसलिए, चंपा सही था।

6. निम्नलिखित बिंदुओं से बने चतुर्भुज के प्रकार, यदि कोई हो, का नाम लिखिए और अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए:

(i) (- 1, - 2), (1, 0), (- 1, 2), (- 3, 0)

(ii) (- 3, 5), (3, 1), (0, 3), (- 1, - 4)

(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

समाधान:

(i) माना A = (-1, -2), B = (1, 0), C= (-1, 2) और D = (-3, 0) 

AB, BC, CD और DA दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

एबी = 

ईसा पूर्व = 

सीडी = 

डीए = 

अत: चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। ... (1)

अब, हम विकर्णों की लंबाई की जांच करेंगे।

एसी = 

बीडी = 

अत: चतुर्भुज ABCD के विकर्ण भी बराबर होते हैं। ... (2)

(1) और (2) से हम कह सकते हैं कि ABCD एक वर्ग है।

(ii) माना A = (-3, 5), B= (3, 1), C= (0, 3) और D= (-1, -4)

AB, BC, CD और DA दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

एबी = 

ईसा पूर्व = 

सीडी = 

डीए = 

हम विभिन्न भुजाओं की लंबाई के बीच कोई संबंध नहीं खोज सकते।

अतः हम चतुर्भुज ABCD को कोई नाम नहीं दे सकते।

(iii) माना A = (4, 5), B= (7, 6), C= (4, 3) और D= (1, 2)

AB, BC, CD और DA दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

एबी = 

ईसा पूर्व = 

सीडी = 

डीए = 

यहाँ चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं। ... (1)

अब हम विकर्णों की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

एसी = 

बीडी = 

यहाँ ABCD के विकर्ण बराबर नहीं हैं। ... (2)

(1) और (2) से हम कह सकते हैं कि ABCD एक आयत नहीं है इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।

7. x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, - 5) और (- 2, 9) से समदूरस्थ है।

समाधान:

एक्स-अक्ष पर एक बिंदु खोजने के लिए। अत: इसका y-निर्देशांक 0 होगा। माना x-अक्ष पर स्थित बिंदु (x,0) है।

ए = (एक्स, 0) पर विचार करें; बी = (2, - 5) और सी = (- 2, 9)।

उपरोक्त समीकरण को सरल कीजिए,

दोनों पक्षों का वर्ग लेकर वर्गमूल निकालें, हमें प्राप्त होता है

(2 - x) 2 + 25 = [-(2 + x)] 2  + 81

(2 - x) 2 + 25 = (2 + x) 2  + 81

x 2  + 4 - 4x + 25 = x 2  + 4 + 4x + 81

8x = 25 - 81 = -56

एक्स = -7

इसलिए, बिंदु (- 7, 0) है।

8. y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु P (2, - 3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई है।

समाधान:

दिया गया है: (2, - 3) और (10, y) के बीच की दूरी 10 है।

दूरी सूत्र का उपयोग करना,

उपरोक्त समीकरण को सरल कीजिए और y का मान ज्ञात कीजिए।

दोनों पक्षों को चुकता करना,

64 + (y + 3) 2 = 100

(वाई + 3) 2 = 36

वाई + 3 = ±6

y + 3 = +6 या y + 3 = −6

y = 6 - 3 = 3 या y = - 6 - 3 = -9

इसलिए, y = 3 या -9।

9. यदि Q (0, 1), P (5, - 3) और R (x, 6) से समान दूरी पर है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। क्यूआर और पीआर की दूरी भी पाएं।

समाधान:

दिया गया है: Q (0, 1), P (5, - 3) और R (x, 6) से समान दूरी पर है, जिसका अर्थ है PQ = QR

चरण 1: दूरी सूत्र का उपयोग करके PQ और QR के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

दोनों पक्षों का वर्गमूल, वर्गमूल को छोड़ने के लिए

41 = x 2  + 25

एक्स 2 = 16

एक्स = ± 4

एक्स = 4 या एक्स = -4

बिंदु R के निर्देशांक R (4, 6) या R (-4, 6) होंगे,

यदि R (4, 6) है, तो QR

10. x और y के बीच ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x, y) बिंदु (3, 6) और (-3, 4) से समान दूरी पर हो।

समाधान:

यह दिया गया है कि (x, y) (3, 6) और (-3, 4) से समान दूरी पर है। 

दूरी सूत्र का प्रयोग करके हम लिख सकते हैं

मैं 

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

=   _ 

−6x -12y + 45 = 6x -8y + 25

⇒ 12x + 4y = 20

⇒ 3x + y = 5

Exercise - 7.2 पृष्ठ संख्या: 167

1. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो (- 1, 7) और (4, - 3) के जोड़ को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

समाधान:

मान लीजिए P(x, y) अभीष्ट बिंदु है। खंड सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

x = (2×4 + 3×(-1))/(2 + 3) = (8 – 3)/5 = 1

y = (2×-3 + 3×7)/(2 + 3) = (-6 + 21)/5 = 3

अत: बिंदु (1, 3) है।

2. (4, -1) और (-2, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड के त्रिखंड के बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान:

माना P (x 1 , y 1 ) और Q (x 2 , y2) दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के त्रिखंड के बिंदु हैं अर्थात AP = PQ = QB

इसलिए, बिंदु P AB को आंतरिक रूप से 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है।

x 1 = (1×(-2) + 2×4)/3 = (-2 + 8)/3 = 6/3 = 2

y 1 = (1×(-3) + 2×(-1))/(1 + 2) = (-3 – 2)/3 = -5/3

इसलिए: P (x 1 , y 1 ) = P(2, -5/3)

बिंदु Q AB को आंतरिक रूप से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

x 2 = (2×(-2) + 1×4)/(2 + 1) = (-4 + 4)/3 = 0

y 2 = (2×(-3) + 1×(-1))/(2 + 1) = (-6 – 1)/3 = -7/3

बिंदु Q के निर्देशांक हैं (0, -7/3)

3. खेल दिवस की गतिविधियों को संचालित करने के लिए आपके आयताकार आकार के स्कूल मैदान ABCD में चॉक पाउडर से 1 मीटर की दूरी पर रेखाएँ खींची गई हैं। AD के अनुदिश एक दूसरे से 1 मीटर की दूरी पर 100 फूलों के गमले रखे गए हैं, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति पर AD की 1/4 भाग दौड़ती है और हरी झंडी लगाती है। प्रीत आठवीं पंक्ति पर AD की दूरी का 1/5 भाग दौड़ता है और एक लाल झंडा लगाता है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को दो झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड के ठीक बीच में नीला झंडा लगाना है, तो उसे अपना झंडा कहाँ लगाना चाहिए?

समाधान:

दिए गए निर्देश से, हमने देखा कि निहारिका ने हरी झंडी को दूसरी पंक्ति के शुरुआती बिंदु से AD की 1/4 वां दूरी यानी (1/4 × 100) m = 25 मीटर पर पोस्ट किया। अत: इस बिंदु के निर्देशांक (2, 25) हैं।

इसी प्रकार, प्रीत ने 8वीं पंक्ति के आरंभिक बिंदु से AD की दूरी के 1/5 अर्थात (1/5 × 100) m = 20m पर लाल झंडा लगाया। इसलिए, इस बिंदु के निर्देशांक (8, 20) हैं।

इन झंडों के बीच की दूरी की गणना दूरी सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है,

जिस बिंदु पर रश्मि को अपना नीला झंडा लगाना चाहिए, वह इन बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का मध्य-बिंदु है। मान लीजिए कि यह बिंदु P(x, y) है।

x = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5 और y = (20 + 25)/2 = 45/2

इसलिए, P( x , y ) = (5, 45/2)

इसलिए रश्मि को अपना नीला झंडा 5वीं लाइन पर 45/2 = 22.5 मीटर पर लगाना चाहिए।

4. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें (-3, 10) और (6, - 8) को मिलाने वाले रेखाखंड को (-1, 6) से विभाजित किया जाता है।

समाधान:

उस अनुपात पर विचार करें जिसमें (-3, 10) और (6, -8) को मिलाने वाले रेखाखंड को बिंदु (-1, 6) से विभाजित किया जाता है, k :1 है।

इसलिए, -1 = (6 k -3)/( k +1)

- के - 1 = 6 के -3

7 के = 2

कश्मीर = 2/7

अतः अभीष्ट अनुपात 2:7 है।

5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें A (1, - 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लीजिए कि A (1, - 5) और B (-4, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को x-अक्ष से विभाजित करने का अनुपात k: 1 है। इसलिए, विभाजन बिंदु के निर्देशांक, मान लीजिए P(x, y) है ((-4 k +1)/( k +1), (5 k -5)/( k +1))।

हम जानते हैं कि x-अक्ष पर किसी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है।

इसलिए, (5k - 5)/(k + 1) = 0

5k = 5

या कश्मीर = 1

अतः x- अक्ष रेखाखंड को 1:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अब, विभाजन के बिंदु के निर्देशांक खोजें:

पी (एक्स, वाई) = ((-4(1)+1)/(1+1) , (5(1)-5)/(1+1)) = (-3/2 , 0)

6. यदि (1, 2), (4, y ), ( x , 6) और (3, 5) क्रम में लिए गए समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, तो x और y ज्ञात कीजिए ।

समाधान:

मान लीजिए A,B,C और D एक समांतर चतुर्भुज के बिंदु हैं: A(1, 2), B(4,  y ), C( x , 6) और D(3, 5)।

चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, मध्यबिंदु समान होता है।

x और y का मान ज्ञात करने के लिए, पहले मध्यबिंदु को हल करें।

एसी का मध्यबिंदु = ( (1+x)/2 , (2+6)/2 ) = ((1+x)/2 , 4)

BD का मध्यबिंदु = ((4+3)/2 , (5+y)/2 ) = (7/2 , (5+y)/2)

AC और BD का मध्यबिंदु समान है, इसका अर्थ है

(1+x)/2 = 7/2 और 4 = (5+y)/2

एक्स + 1 = 7 और 5 + वाई = 8

एक्स = 6 और वाई = 3

7. एक बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, - 3) है और B (1, 4) है।

समाधान:

मान लीजिए कि बिंदु A के निर्देशांक हैं ( x , y )।

AB का मध्य-बिंदु (2, - 3) है, जो वृत्त का केंद्र है।

B का निर्देशांक = (1, 4)

(2, -3) =((x+1)/2 , (y+4)/2)

(x+1)/2 = 2 और (y+4)/2 = -3

एक्स + 1 = 4 और वाई + 4 = -6

एक्स = 3 और वाई = -10

A(3,-10) के निर्देशांक।

8. यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हैं, तो P के निर्देशांक इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि AP = 3/7 AB और P रेखाखंड AB पर स्थित हों।

समाधान:

बिंदु A और B के निर्देशांक क्रमशः (-2,-2) और (2,-4) हैं। चूँकि AP = 3/7 AB

इसलिए, एपी: पीबी = 3:4

बिंदु P रेखाखंड AB को 3:4 के अनुपात में विभाजित करता है।

9. उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो A (-2, 2) और B (2, 8) को मिलाने वाले रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

समाधान:

एक आकृति बनाएं, रेखा को 4 बिंदुओं से विभाजित करें।

आकृति से, यह देखा जा सकता है कि बिंदु X, Y, Z रेखा खंड को क्रमशः 1:3, 1:1, 3:1 के अनुपात में विभाजित कर रहे हैं।

10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि उसके शीर्षों (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) को क्रम से लिया गया है।

[संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 (इसके विकर्णों का गुणनफल)

समाधान:

माना A(3, 0), B (4, 5), C(-1, 4) और D (-2, – 1) एक समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं।

---

Exercise - 7.3 पृष्ठ संख्या: 170

1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:

(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)

(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)

समाधान:

त्रिभुज सूत्र का क्षेत्रफल = 1/2 × [x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 1 ) + x 3 (y 1 - y 2 )]

(यहाँ मैं,

x 1 = 2, x 2 = -1, x 3 = 2, y 1 = 3, y 2 = 0 और y 3 = -4

उपरोक्त सूत्र में सभी मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [2 {0- (-4)} + (-1) {(-4) - (3)} + 2 (3 - 0)]

= 1/2 {8 + 7 + 6}

= 21/2

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल 21/2 वर्ग इकाई है।

(ii) यहाँ,

x 1 = -5, x 2 = 3, x 3 = 5, y 1 = -1, y 2 = -5 और y 3 = 2

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [-5 { (-5)- (2)} + 3(2-(-1)) + 5{-1 - (-5)}]

= 1/2{35 + 9 + 20} = 32

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल 32 वर्ग इकाई है।

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में 'k' का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु संरेख हैं।

(i) (7, -2), (5, 1), (3, -k)

(ii) (8, 1), (के, -4), (2, -5)

समाधान:

(i) संरेख बिन्दुओं के लिए उनके द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल सदैव शून्य होता है।

मान लीजिए बिंदु (7, -2) (5, 1), और (3, k) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [7 {1-k} + 5(k-(-2)) + 3{(-2) - 1}] = 0

7 - 7k + 5k +10 -9 = 0

-2k + 8 = 0

कश्मीर = 4

(ii) संरेख बिन्दुओं के लिए उनके द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।

इसलिए, बिंदुओं (8, 1), (k, - 4), और (2, - 5) के लिए, क्षेत्रफल = 0

1/2 [8 { -4- (-5)} + k{(-5)-(1)} + 2{1 -(-4)}] = 0

8 - 6k + 10 = 0

6k = 18

कश्मीर = 3

3. उस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (0, -1), (2, 1) और (0, 3) हैं। दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल से इस क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समाधान:

माना त्रिभुज के शीर्ष A (0, -1), B (2, 1), C (0, 3) हैं।

मान लीजिए D, E, F इस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं।

D, E, और F के निर्देशांक किसके द्वारा दिए गए हैं?

डी = (0+2/2, -1+1/2) = (1, 0)

ई = (0+0/2, -1+3/2) = (0, 1)

एफ = (0+2/2, 3+1/2) = (1, 2)

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 1 ) + x 3 (y 1 - y 2 )]

ΔDEF का क्षेत्रफल = 1/2 {1(2-1) + 1(1-0) + 0(0-2)} = 1/2 (1+1) = 1

DEF का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई है

ABC का क्षेत्रफल = 1/2 [0(1-3) + 2{3-(-1)} + 0(-1-1)] = 1/2 {8} = 4

ABC का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है

अतः अभीष्ट अनुपात 1:4 है।

4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष क्रम में लिए गए हैं

(-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3)।

समाधान:

माना चतुर्भुज के शीर्ष A (- 4, - 2), B (-3, - 5), C (3, - 2), और D (2, 3) हैं।

AC को मिलाइए और चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित कीजिए।

हमारे पास दो त्रिभुज ΔABC और ACD हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 1 ) + x 3 (y 1 - y 2 )]

ABC का क्षेत्रफल = 1/2 [(-4) {(-5) - (-2)} + (-3) {(-2) - (-2)} + 3 {(-2) - (-5) )}]

= 1/2 (12 + 0 + 9)

= 21/2 वर्ग इकाई

ΔACD का क्षेत्रफल = 1/2 [(-4) {(-2) - (3)} + 3{(3) - (-2)} + 2 {(-2) - (-2)}]

= 1/2 (20 + 15 + 0)

= 35/2 वर्ग इकाई

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ABC का क्षेत्रफल + ACD . का क्षेत्रफल

= (21/2 + 35/2) वर्ग इकाई = 28 वर्ग इकाई

5. आपने कक्षा IX में पढ़ा है कि एक त्रिभुज की एक माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। इस परिणाम को ABC के लिए सत्यापित कीजिए जिसके शीर्ष A (4, - 6), B (3, - 2) और C (5, 2) हैं।

समाधान:

माना त्रिभुज के शीर्ष A (4, -6), B (3, -2), और C (5, 2) हैं।

माना ABC की भुजा BC का मध्य-बिंदु D है। अत: ABC में AD माध्यिका है।

बिंदु D के निर्देशांक = BC का मध्यबिंदु = ((3+5)/2, (-2+2)/2) = (4, 0)

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र = 1/2 × [x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 1 ) + x 3 (y 1 - y 2 )]

अब, ABD का क्षेत्रफल = 1/2 [(4) {(-2) - (0)} + 3{(0) - (-6)} + (4) {(-6) - (-2)} ]

= 1/2 (-8 + 18 - 16)

= -3 वर्ग इकाई

हालांकि, क्षेत्र नकारात्मक नहीं हो सकता। अत: ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है।

ΔACD का क्षेत्रफल = 1/2 [(4) {0 - (2)} + 4{(2) - (-6)} + (5) {(-6) - (0)}]

= 1/2 (-8 + 32 - 30) = -3 वर्ग इकाई

हालांकि, क्षेत्र नकारात्मक नहीं हो सकता। अत: ACD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है।

दोनों पक्षों का क्षेत्रफल समान है। इस प्रकार, माध्यिका AD ने ABC को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित किया है।

---

Exercise - 7.4 पृष्ठ संख्या: 171

1. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें रेखा 2x + y - 4 = 0 बिंदुओं A(2, -2) और B(3, 7) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है।

समाधान:

रेखा 2x + y - 4 = 0 पर विचार करें, रेखा AB को दो बिंदुओं A(2, -2) और B(3, 7) से k: 1 के अनुपात में विभाजित करती है।

विभाजन के बिंदु के निर्देशांक निम्नानुसार दिए जा सकते हैं:

x = (2 + 3k)/(k + 1) और y = (-2 + 7k)/(k + 1)

दिए गए समीकरण x और y के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, अर्थात 2x + y - 4 = 0, हमें प्राप्त होता है

2{(2 + 3k)/(k + 1)} + {(-2 + 7k)/(k + 1)} - 4 = 0

(4 + 6k)/(k + 1) + (-2 + 7k)/(k + 1) = 4

4 + 6k - 2 + 7k = 4(k+1)

-2 + 9k = 0

या कश्मीर = 2/9

अत: अनुपात 2:9 है।

2. यदि बिंदु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेख हैं, तो x और y के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यदि दिए गए बिंदु संरेख हैं तो उनके द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।

माना (x, y), (1, 2) और (7, 0) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं,

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 1 ) + x 3 (y 1 - y 2 )] = 0

[x(2 - 0) + 1 (0 - y) + 7(y - 2)] = 0

2x - y + 7y - 14 = 0

2x + 6y - 14 = 0

एक्स + 3y - 7 = 0।

जो आवश्यक परिणाम है।

3. बिंदुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

समाधान:

माना A = (6, -6), B = (3, -7), C = (3, 3) एक वृत्त पर स्थित बिंदु हैं।

यदि O केंद्र है, तो OA = OB = OC (त्रिज्या बराबर हैं)

यदि ओ = (एक्स, वाई) तो

OA = [(x - 6) 2  + (y + 6) 2 ]

ओबी = √ [(एक्स - 3) 2  + (वाई + 7) 2 ]

ओसी = √[(x - 3) 2  + (y - 3) 2 ]

चुनें: OA = OB, हमारे पास है

ऊपर सरलीकरण करने पर, हमें -6x = 2y - 14 ….(1) प्राप्त होता है।

इसी प्रकार: ओबी = ओसी

(x - 3) 2 + (y + 7) 2 = (x - 3) 2 + (y - 3) 2

(y + 7) 2 = (y - 3) 2

y 2 + 14y + 49 = y 2 - 6y + 9

20y = -40

या वाई = -2

समीकरण (1) में y का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं;

-6x = 2y - 14

-6x = -4 - 14 = -18

एक्स = 3

अत: वृत्त का केंद्र बिंदु (3,-2) पर स्थित है।

4. एक वर्ग के दो विपरीत शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लीजिए ABCD एक वर्ग है, जहाँ A(-1,2) और B(3,2)। और बिंदु O AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है

खोजने के लिए: बिंदु B और D का निर्देशांक।

चरण 1: A और C के बीच की दूरी और बिंदु O के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हम जानते हैं कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

एसी = √[(3 + 1) 2  + (2 - 2) 2 ] = 4

O के निर्देशांकों की गणना निम्न प्रकार से की जा सकती है:

x = (3 - 1)/2 = 1 और y = (2 + 2)/2 = 2

तो, हे(1,2)

चरण 2: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए

माना वर्ग की भुजा a है और AC = 4

समकोण त्रिभुज से, ACD,

ए = 2√2

अत: वर्ग की प्रत्येक भुजा = 2√2

चरण 3: बिंदु D . के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

AD और CD की लंबाई माप समान करें

मान लीजिए, यदि D के निर्देशांक हैं (x 1 , y 1 )

AD = [(x 1 + 1) 2  + (y 1 - 2) 2 ]

दोनों पक्षों को चुकता करना,

AD 2 = (x 1 + 1) 2  + (y 1 - 2) 2

इसी प्रकार, सीडी 2 = (एक्स 1  - 3) 2  + (वाई 1 - 2) 2

चूँकि एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं, जिसका अर्थ है AD = CD

(x 1 + 1) 2  + (y 1 - 2) 2 = (x 1  - 3) 2  + (y 1 - 2) 2

x 1 2 + 1 + 2x 1 = x 1 2 + 9 - 6x 1

8x 1 = 8

एक्स 1 = 1

y 1 के मान की गणना x के मान का उपयोग करके निम्नानुसार की जा सकती है।

चरण 2 से: वर्ग की प्रत्येक भुजा = 2√2

सीडी 2 = (एक्स 1  - 3) 2  + (वाई 1 - 2) 2

8 = (1 - 3) 2  + (y 1 - 2) 2

8 = 4 + (वाई 1 - 2) 2

वाई 1 - 2 = 2

वाई 1 = 4

इसलिए, डी = (1, 4)

चरण 4: बिंदु B . के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

रेखा खंड से, BOD

B के निर्देशांकों की गणना O के निर्देशांकों का उपयोग करके की जा सकती है; निम्नलिखित नुसार:

इससे पहले, हमने O = (1, 2) की गणना की थी।

कहें बी = (एक्स 2 , वाई 2 )

बीडी के लिए;

1 = (एक्स 2 + 1)/2

एक्स 2 = 1

और 2 = (y 2 + 4)/2

=> वाई 2 = 0

इसलिए, आवश्यक बिंदुओं के निर्देशांक B = (1,0) और D = (1,4) हैं

5. कृषिनगर के एक माध्यमिक विद्यालय के दसवीं कक्षा के छात्रों को उनकी बागवानी गतिविधि के लिए एक आयताकार भूखंड आवंटित किया गया है। गुलमोहर के पौधे एक दूसरे से 1 मीटर की दूरी पर सीमा पर लगाए जाते हैं। भूखंड में एक त्रिकोणीय लॉन है जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 7.14. विद्यार्थियों को प्लाट के शेष भाग पर फूलों के पौधों के बीज बोने हैं।

(i) A को मूल मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

(ii) यदि C मूल बिंदु है तो त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?

इन स्थितियों में त्रिभुजों का क्षेत्रफल भी परिकलित कीजिए। आप क्या देखते हैं?

समाधान:

(i) A को मूल मानते हुए, शीर्षों P, Q और R के निर्देशांक हैं,

आकृति से: P = (4, 6), Q = (3, 2), R (6, 5)

यहाँ AD x-अक्ष है और AB, y-अक्ष है।

(ii) सी को मूल के रूप में लेना,

शीर्षों P, Q और R के निर्देशांक क्रमशः (12, 2), (13, 6) और (10, 3) हैं।

यहाँ CB x-अक्ष है और CD, y-अक्ष है।

त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

मूल A के मामले में त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल:

सूत्र का उपयोग करना: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 1 ) + x 3 (y 1 - y 2 )]

= ½ [4(2 - 5) + 3 (5 - 6) + 6 (6 - 2)]

= ½ (- 12 - 3 + 24 )

= 9/2 वर्ग इकाई

(ii) मूल C के मामले में त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 1 ) + x 3 (y 1 - y 2 )]

= ½ [12(6 - 3) + 13 (3 - 2) + 10( 2 - 6)]

= ½ ( 36 + 13 - 40)

= 9/2 वर्ग इकाई

इसका तात्पर्य है, मूल बिंदु A पर त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल = मूल बिंदु C पर त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल

दोनों ही स्थितियों में क्षेत्रफल समान है क्योंकि त्रिभुज वही रहता है, चाहे किसी भी बिंदु को मूल बिंदु माना जाए।

6. ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) और C (7, 2) हैं। AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाती है, ताकि AD/AB = AE/AC = 1/4 हो। ADE के क्षेत्रफल की गणना करें और इसकी तुलना ABC के क्षेत्रफल से करें। (प्रमेय 6.2 और प्रमेय 6.6 को याद करें)

समाधान:

दिया है: ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) और C (7, 2) हैं।

एडी/एबी = एई/एसी = 1/4

एडी/(एडी + बीडी) = एई/(एई + ईसी) = 1/4

बिंदु D और बिंदु E क्रमशः AB और AC को 1:3 के अनुपात में विभाजित करते हैं।

डी के निर्देशांक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

एक्स = (एम 1 एक्स 2 + एम 2 एक्स 1 )/(एम 1 + एम 2 ) और वाई = (एम 1 वाई 2 + एम 2 वाई 1 )/(एम 1 + एम 2 )

यहां एम 1 = 1 और एम 2 = 3

रेखा खंड AB पर विचार करें जो बिंदु D से 1:3 के अनुपात में विभाजित है।

एक्स = [3(4) + 1(1)]/4 = 13/4

वाई = [3(6) + 1(5)]/4 = 23/4

इसी तरह, ई के निर्देशांक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

एक्स = [1(7) + 3(4)]/4 = 19/4

वाई = [1(2) + 3(6)]/4 = 20/4 = 5

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

सूत्र का उपयोग करना: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 1 ) + x 3 (y 1 - y 2 )]

त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल की गणना निम्न प्रकार से की जा सकती है:

= ½ [4(5 - 2) + 1(2 - 6) + 7(6 - 5)]

= ½ (12 – 4 + 7) = 15/2 वर्ग इकाई

ADE के क्षेत्रफल की गणना निम्न प्रकार से की जा सकती है:

= ½ [4(23/4 - 5) + 13/4 (5 - 6) + 19/4 (6-23/4)]

= ½ (3 - 13/4 + 19/16)

= ½ ( 15/16 ) = 15/32 वर्ग इकाई

अत: त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल का त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल से अनुपात = 1:16.

7. माना A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) ABC के शीर्ष हैं।

(i) A से माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

(ii) AD पर बिंदु P के निर्देशांक इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।

(iii) माध्यिका BE और CF पर क्रमशः बिंदु Q और R के निर्देशांक इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि BQ: QE = 2:1 और CR: RF = 2: 1 हो।

(iv) आप क्या देखते हैं?

[नोट: वह बिंदु जो तीनों माध्यिकाओं में उभयनिष्ठ होता है, केन्द्रक कहलाता है

और यह बिंदु प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।]

(v) यदि A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) और C (x 3 , y 3 ) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान:

(i) डी के निर्देशांक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

D के निर्देशांक = ( (6+1)/2, (5+4)/2 ) = (7/2, 9/2)

तो, डी है (7/2, 9/2)

(ii) P के निर्देशांकों की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

P के निर्देशांक = ( [2(7/2) + 1(4)]/(2 + 1), [2(9/2) + 1(2)]/(2 + 1)) = (11/3) , 11/3)

तो, पी है (11/3, 11/3)

(iii) ई के निर्देशांक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

E के निर्देशांक = ( (4+1)/2, (2+4)/2 ) = (5/2, 6/2) = (5/2 , 3)

तो, ई है (5/2 , 3)

बिंदु Q और P संपाती होंगे क्योंकि त्रिभुज की माध्यिकाएं एक दूसरे को एक उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जिसे केन्द्रक कहते हैं। Q का निर्देशांक निम्नानुसार दिया जा सकता है:

क्यू के निर्देशांक =( [2(5/2) + 1(6)]/(2 + 1), [2(3) + 1(5)]/(2 + 1)) = (11/3, 11) / 3)

F भुजा AB का मध्य-बिंदु है

F के निर्देशांक = ( (4+6)/2, (2+5)/2 ) = (5, 7/2)

बिंदु R, भुजा CF को 2:1 . के अनुपात में विभाजित करता है

आर के निर्देशांक = ( [2(5) + 1(1)]/(2 + 1), [2(7/2) + 1(4)]/(2 + 1)) = (11/3, 11) / 3)

(iv) P, Q और R के निर्देशांक समान हैं जो दर्शाता है कि माध्यिकाएं एक दूसरे को एक उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, अर्थात त्रिभुज का केन्द्रक।

(v) यदि A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) और C (x 3 , y 3 ) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो केन्द्रक के निर्देशांक निम्नानुसार दिए जा सकते हैं:

x = (x 1 + x 2 + x 3 )/3 और y = (y 1 + y 2 + y 3 )/3

8. ABCD एक आयत है जो बिंदुओं A (-1, -1), B (-1, 4), C (5, 4) और D (5, -1) से बनता है। P, Q, R और S क्रमशः AB, BC, CD और DA के मध्यबिंदु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? एक आयत? या एक समचतुर्भुज? आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

समाधान:

P, भुजा AB के मध्य-बिंदु को पहचानता है,

P का निर्देशांक = ((-1 - 1)/2, (-1 + 4)/2) = (-1, 3/2)

इसी प्रकार, Q, R और S हैं (चूंकि Q, BC का मध्य-बिंदु है, R, CD का मध्य-बिंदु है और S, AD का मध्य-बिंदु है)

क्यू का निर्देशांक = (2, 4)

R का निर्देशांक = (5, 3/2)

S का निर्देशांक = (2, -1)

अभी,

PQ की लंबाई = √[(-1 - 2) 2 + (3/2 - 4) 2 ] = √(61/4) = 61/2

SP की लंबाई = √[(2 + 1) 2 + (-1 - 3/2) 2 ] = √(61/4) = 61/2

QR की लंबाई = √[(2 - 5) 2 + (4 - 3/2) 2 ] = √(61/4) = 61/2

रुपये की लंबाई = √[(5 - 2) 2 + (3/2 + 1) 2 ] = √(61/4) = √61/2

PR (विकर्ण) की लंबाई = [(-1 - 5) 2 + (3/2 - 3/2) 2 ] = 6

QS (विकर्ण) की लंबाई = [(2 - 2) 2 + (4 + 1) 2 ] = 5

उपरोक्त मान दर्शाते हैं कि, PQ = SP = QR = RS = 61/2, अर्थात सभी भुजाएँ समान हैं।

लेकिन PR QS यानी विकर्ण बराबर माप के नहीं होते हैं।

अत: दी गई आकृति एक समचतुर्भुज है।