Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Subjective Questions

बहुपद कक्षा 10 महत्वपूर्ण प्रश्न अति लघु उत्तर (1 अंक)

प्रश्न 1.
यदि द्विघात बहुपद 3x 2 - kx + 6 के शून्यकों का योग 3 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए। (2012)
हल:
यहाँ a = 3, b = -k, c = 6
शून्यकों का योग, (α + β) =- बीए= 3…..(दिया गया
)- ( - कश्मीर )3= 3
के = 9

प्रश्न 2.
यदि α और β बहुपद ax 2 + bx + c के शून्यक हैं, तो α 2 + β 2 का मान ज्ञात कीजिए । (2013)
समाधान:

प्रश्न 3.
यदि बहुपद p(x) = (k 2 - 14) x 2 - 2x - 12 के शून्यकों का योग 1 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए। (2017 डी)
हल:
p(x) = (k 2 - 14) x 2 - 2x - 12
यहाँ a = k 2 - 14, b = -2, c = -12
शून्यकों का योग, (α + β) = 1 ... [दिया गया
]- बीए=
1- ( - 2 )क2- 14= 1
k 2 - 14 = 2
k 2 = 16
k = ± 4

प्रश्न 4.
यदि एक बहुपद के α और β इस प्रकार के शून्यक हैं कि α + β = -6 और αβ = 5, तो बहुपद ज्ञात कीजिए। (2016 डी)
हल:
द्विघात बहुपद x 2 है - Sx + P = 0
⇒ x 2 - (-6)x + 5 = 0
x 2 + 6x + 5 = 0

प्रश्न 5.
एक द्विघात बहुपद, जिसके शून्यक -4 और -5 हैं, ... है। (2016 डी)
हल:
x 2 + 9x + 20 अभीष्ट बहुपद है।

बहुपद कक्षा 10 महत्वपूर्ण प्रश्न संक्षिप्त उत्तर- I (2 अंक)

प्रश्न 6.
यह शर्त ज्ञात कीजिए कि बहुपद p(x) = ax 2 + bx + c के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं। (2017 ओडी)
हल:
मान लीजिए α और1αP(x) के शून्यक हों।
P(a) = ax 2 + bx + c …(दिया गया)
शून्य का गुणनफल =सीए
α ×1α=सीए
⇒ 1 =सीए
a = c (आवश्यक शर्त)
x 2 का गुणांक = स्थिर पद

प्रश्न 7.
एक द्विघात बहुपद बनाइए जिसके शून्यक 3 + 2 और 3 - 2 हों। (2012)
हल:
शून्यों का योग,
S = (3 + 2) + (3 - 2) = 6
शून्यों का गुणनफल,
P = (3 + √2) x (3 - 2) = (3) 2 - (√2) 2 = 9 - 2 = 7
द्विघात बहुपद = x 2 - Sx + P = x 2 - 6x + 7

प्रश्न 8.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का स्टन और गुणनफल 3 है और13 _क्रमश। (2014)
हल:
शून्यों का योग, (S) = 3
शून्यों का गुणनफल, (P) =13 _
द्विघात बहुपद = x 2 - Sx + P

प्रश्न 9.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः 0 और -√2 है। (2015)
हल:
द्विघात बहुपद
x 2 है - (शून्य का योग) x + (शून्य का गुणनफल) =
x 2 - (0)x + (-√2)
= x 2 - √2

प्रश्न 10.
द्विघात बहुपद √3 x 2 - 8x + 4√3 के शून्यक ज्ञात कीजिए। (2013)
समाधान:

प्रश्न 11.
यदि बहुपद x 2 + px + q के शून्यक 2x 2 - 5x - 3 के शून्यकों के मान से दुगुने हैं, तो p और q का मान ज्ञात कीजिए। (2012)
हल:
हमारे पास 2x 2 - 5x - 3 = 0
= 2x 2 - 6x + x - 3
= 2x (x - 3) + 1 (x - 3)
= (x - 3) (2x + 1) शून्य
हैं:
x - 3 = 0 या 2x + 1 = 0
x = 3 या x =- 12
चूँकि अभीष्ट बहुपद के शून्यक दिए गए बहुपद के दोगुने होते हैं।
अभीष्ट बहुपद के शून्यक हैं:
3 × 2, (- 12× 2), अर्थात, 6, -1
शून्यों का योग, S = 6 + (-1) = 5
शून्यकों का गुणनफल, P = 6 × (-1) = -6
द्विघात बहुपद x 2 है - Sx + P
⇒ x 2 - 5x - 6 ... (i)
तुलना (i) x 2 + px + q
p = -5, q = -6 के साथ

प्रश्न 12.
क्या एक बहुपद p(x) को (2x + 3) से भाग देने पर शेषफल (x - 2) हो सकता है? आपने जवाब का औचित्य साबित करें। (2016 ओडी)
हल:
एक बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देने की स्थिति में, शेषफल (बहुपद) की घात हमेशा भाजक की घात से कम होती है। (x - 2) जब p(x) को (2x + 3) से विभाजित किया जाता है तो शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि घात समान होती है।

प्रश्न 13.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक हों3 + 5 _5तथा3 - 5 _5. (2013)
समाधान:

प्रश्न 14.
वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक -2 और -5 हैं। बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित करें। (2013)
हल:
शून्यों का योग, S = (-2) + (-5) = -7
शून्यकों का गुणनफल, P = (-2)(-5) = 10
द्विघात बहुपद x 2 है - Sx + P = 0
= x 2 - (-7)x + 10
= x 2 + 7x + 10
सत्यापन:
यहाँ a = 1, b = 7, c = 10
शून्यों का योग = (-2) + (-5) = 7

प्रश्न 15.
द्विघात बहुपद 3x 2 - 75 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित कीजिए। (2014)
हल:
हमारे पास 3x 2 - 75
= 3 (x 2 - 25)
= 3 (x 2 - 52)
= 3 (x - 5) (x + 5) शून्य
हैं:
x - 5 = 0 या x + 5 = 0
x = 5 या x = -5
सत्यापन:
यहाँ a = 3, b = 0, c = -75 शून्यकों
का योग = 5 + (-5) = 0

प्रश्न 16.
p(x) = 2x 2 - x - 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए और इन गुणांकों के साथ शून्यकों के संबंध की पुष्टि कीजिए। (2017 ओडी)
हल:
p(x) = 2x 2 - x - 6 ... [दिया गया]
= 2x 2 - 4x + 3x - 6
= 2x (x - 2) + 3 (x - 2)
= (x - 2) (2x + 3) शून्य
हैं:
x - 2 = 0 या 2x + 3 = 0
x = 2 या x =- 32
सत्यापन:
यहाँ a = 2, b = -1, c = -6

प्रश्न 17. बहुपद f(x) = x 4 + 2x 3 - 13x 2
- 12x + 21 में से क्या घटाया जाना चाहिए ताकि परिणामी बहुपद x 2 - 4x + 3 से पूर्णतः विभाजित हो जाए? (2012, 2017 डी) हल: (2x - 3) x 4 + 2x 3 - 13x 2 - 12x + 21 से घटाया जाना चाहिए ।

बहुपद कक्षा 10 महत्वपूर्ण प्रश्न संक्षिप्त उत्तर- II (3 अंक)

प्रश्न 18.
सत्यापित करें कि क्या 2, 3 और12बहुपद के शून्यक हैं p(x) = 2x 3 - 11x 2 + 17x - 6. (2012, 2017 D)
हल:
p(x) = 2x 3 - 11x 2 + 17x - 6
जब x = 2,
p( 2) = 2 (2) 3 - 11 (2) 2 + 17 (2) - 6 = 16 - 44 + 34 - 6 = 0
जब x = 3, p(3) = 2(3) 3 - 11(3 ) 2 + 17(3) - 6 = 54 - 99 + 51 - 6 = 0

हाँ, x = 2, 3 और12सभी दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।

प्रश्न 19.
दिखाइए कि12तथा- 32बहुपद 4x 2 + 4x - 3 के शून्यक हैं और बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की पुष्टि करते हैं। (2013)
हल:
मान लीजिए P(x) = 4x 2 + 4x - 3

प्रश्न 20.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः -8 और 12 है। इसलिए शून्य ज्ञात कीजिए। (2014)
हल:
मान लीजिए शून्यकों का योग (α + β) = S = -8 ... [दिया गया है]
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = P = 12 ... [दिया गया है]
द्विघात बहुपद x 2 है - Sx + P
= x 2 - (-8)x + 12
= x 2 + 8x + 12
= x 2 + 6x + 2x + 12
= x(x + 6) + 2(x + 6)
= (x + 2)(x + 6)
शून्य हैं :
x + 2 = 0 या x + 6 = 0
x = -2 या x = -6

प्रश्न 21.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल 0 और है- 35क्रमश। इसलिए शून्य ज्ञात कीजिए। (2015)
हल:
द्विघात बहुपद = x 2 - (योग)x + गुणनफल

प्रश्न 22.
द्विघात बहुपद 6x ​​2 - 3 - 7x के शून्यक ज्ञात कीजिए और बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित कीजिए। (2015, 2016 ओडी)
हल:
हमारे पास, 6x 2 - 3 - 7x
= 6x 2 - 7x - 3
= 6x 2 - 9एक्स + 2एक्स - 3
= 3x(2एक्स - 3) + 1(2एक्स - 3)
= (2x ) - 3) (3x + 1)

प्रश्न 23.
द्विघात बहुपद f(x) = x 2 - 3x - 28 के शून्यक ज्ञात कीजिए और बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की पुष्टि कीजिए। (2012, 2017 डी)
हल:
p(x) = x 2 - 3x - 28
= x 2 - 7x + 4x - 28
= x (x - 7) + 4 (x - 7)
= (x - 7) (x + 4) शून्य
हैं:
x - 7 = 0 या x + 4 = 0
x = 7 या x = -4

प्रश्न 24.
यदि α और β बहुपद 6y 2 - 7y + 2 के शून्यक हैं, तो एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक हैं1αतथा1β. (2012)
हल:
दिया गया: 6y 2 - 7y + 2
यहाँ a = 6, b = -7, c = 2

प्रश्न 25.
3x 2 + 5x - 1 को x + 2 से भाग दें और विभाजन एल्गोरिथ्म की पुष्टि करें। (2013 ओडी)
हल:

भागफल = 3x - 1
शेष = 1
सत्यापन:
भाजक × भागफल + शेष
= (x + 2) × (3x - 1) + 1
= 3x 2 - x + 6x - 2 + 1
= 3x 2 + 5x - 1
= लाभांश

प्रश्न 26.
3x 3 + 4x 2 + 5x - 13 को बहुपद g(x) से विभाजित करने पर भागफल और शेषफल क्रमशः 3x +10 और 16x - 43 थे। बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए। (2017 OD)
हल:
मान लीजिए 3x 3 + 4x 2 + 5x - 13 = P(x)
q(x) = 3x + 10, r(x) = 16x - 43 ... [दिया गया]
जैसा कि हम जानते हैं, P(x) = जी (एक्स)। q(x) + r(x)
3x 3 + 4x 2 + 5x - 13 = g(x) । (3x + 10) + (16x - 43)
3x 3 + 4x 2 + 5x - 13 - 16x + 43 = g(x)। (3x + 10)

प्रश्न 27.
जाँच करें कि क्या बहुपद x - 1 बहुपद x 3 - 8x 2 + 19x - 12 का एक गुणनखंड है। विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा सत्यापित करें। (2014)
हल:
मान लीजिए P(x) = x 3 - 8x 2 + 19x - 12
x = 1
P(1) = (1) 3 - 8(1) 2 + 19(1) - 12
= 1 - 8 रखें + 19 - 12
= 20 - 20
= 0
शेष = 0
(x - 1), P(x) का एक गुणनखंड है।
सत्यापन:

चूँकि शेषफल = 0
(x - 1), P(x) का एक गुणनखंड है।

बहुपद कक्षा 10 महत्वपूर्ण प्रश्न दीर्घ उत्तर (4 अंक)

प्रश्न 28.
4x 3 + 2x 2 + 5x - 6 को 2x 2 + 1 + 3x से भाग दें और विभाजन एल्गोरिथ्म की पुष्टि करें। (2013)
हल:

भागफल = 2x - 2
शेष = 9x - 4
सत्यापन:
भाजक × भागफल + शेष
= (2x 2 + 3x + 1) × (2x - 2) + 9x - 4
= 4x 3 - 4x 2 + 6x 2 - 6x + 2x - 2 + 9x - 4
= 4x 3 + 2x 2 + 5x - 6
= लाभांश

प्रश्न 29.
यह देखते हुए कि x - 5 बहुपद x 3 - 3√5 x 2 - 5x + 15√5 का एक गुणनखंड है, बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए। (2012, 2016)
हल: माना
P(x) = x 3 - 3√5 x 2 - 5x + 15√5
x - √5 दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
x = -√5 रखें,

अन्य शून्य:
x - 3√5 = 0 ⇒ x = 3√5
P(x) के सभी शून्यक -√5, √5 और 3√5 हैं।

प्रश्न 30.
यदि एक बहुपद x 4 + 5x 3 + 4x 2 - 10x - 12 में -2 और -3 के रूप में दो शून्यक हैं, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए। (2014)
हल:
चूँकि दो शून्यक -2 और -3 हैं।
(x + 2)(x + 3) = x 2 + 3x + 2x + 6 = x 2 + 5x + 6
दिए गए समीकरण को x 2 + 5x + 6 से विभाजित करने पर, हमें

x 4 + 5x 3 + 4x 2 - 10x प्राप्त होता है। - 12
= (x 2 + 5x + 6) (x 2 - 2)
= (x + 2) (x + 3) (x - √2) (x + √2)
अन्य शून्यक हैं:
x - 2 = 0 या x + √2 = 0
x = √2 या x = -√2

प्रश्न 31.
बहुपद 8x 4 + 8x 3 - 18x 2 - 20x - 5 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि यह दिया गया है कि इसके दो शून्यक हैं52--मैंतथा-52--मैं. (2014, 2016 डी)
समाधान:

प्रश्न 32.
यदि p(x) = x 3 - 2x 2 + kx + 5 को (x - 2) से विभाजित किया जाए, तो शेषफल 11 प्राप्त होता है। k ज्ञात कीजिए। अतः x 3 + kx 2 + 3x + 1 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए। (2012)
हल:
p(x) = x 3 - 2x 2 + kx + 5,
जब x - 2,
p(2) = (2) 3 - 2 (2) 2 + के (2) + 5
⇒ 11 = 8 - 8 + 2k + 5
⇒ 11 - 5 = 2k
6 = 2k
k = 3
माना q(x) = x 3 + kx 2 + 3x + 1
= x 3 + 3x 2 + 3x + 1
= x 3 + 1 + 3x2 + 3x
= (x) 3 + (1) 3 + 3x (x + 1)
= (x + 1) 3
= (x + 1) (x + 1) (x + 1) ...[∵ a 3 + b 3 + 3ab (a + b) = (a + b) 3 ]
सभी शून्य हैं:
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x + 1 = 0 x = -1
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
अतः शून्यक -1, -1 और -1 हैं।

प्रश्न 33.
यदि α और β p(x) = kx 2 + 4x + 4 के शून्यक इस प्रकार हैं कि α 2 + β 2 = 24, तो k ज्ञात कीजिए। (2013)
हल:
हमारे पास, p(x) = kx 2 + 4x + 4
यहाँ a = k, b = 4, c = 4

24k 2 = 16 - 8k
24k 2 + 8k - 16 = 0
3k 2 + के - 2 = 0 ... [दोनों पक्षों को 8 से विभाजित करना]
⇒ 3k 2 + 3k - 2k - 2 = 0
3k(k + 1) - 2(k + 1) = 0
⇒ (k + 1)(3k - 2) = 0
k + 1 = 0 या 3k - 2 = 0
k = -1 या k =23

प्रश्न 34.
यदि α और β बहुपद p(x) = 2x 2 + 5x + k के शून्यक हैं, जो संबंध को संतुष्ट करते हैं, α 2 + β 2 + αβ =214तो k का मान ज्ञात कीजिए। (2017 OD)
हल:
दिया गया बहुपद p(x) = 2x 2 + 5x + k
है, यहाँ a = 2, b = 5, c = k

प्रश्न 35.
p(x) = 8x 4 + 14x 3 - 2x 2 + 8x - 12 में से क्या घटाया जाना चाहिए कि 4x 2 + 3x - 2 p(x) का गुणनखंड हो? यह प्रश्न छात्रों के समूह को एक साथ काम करने के लिए दिया गया था। (2015)
हल:

बहुपद (15x - 14) से घटाया जाना है।

प्रश्न 36.
a और b के मान ज्ञात कीजिए कि x 4 + x 3 + 8x 2 +ax - b x 2 + 1 से विभाज्य हो । (2015)
हल:

यदि x 4 + x 3 + 8x 2 + ax - b x 2 + 1
शेषफल = 0
(a - 1)x - b - 7 = 0
(a - 1)x + (-b - 7) = 0 से विभाज्य है । एक्स + 0
ए - 1 = 0, -बी - 7 = 0
ए = 1, बी = -7
ए = 1, बी = -7

प्रश्न 37.
यदि एक बहुपद 3x 4 - 4x 3 - 16x 2 + 15x + 14 को एक अन्य बहुपद x 2 - 4 से विभाजित किया जाए, तो शेषफल px + q प्राप्त होता है। p और q का मान ज्ञात कीजिए। (2014)
समाधान:

प्रश्न 38.
यदि बहुपद (x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 12x + 18) को एक अन्य बहुपद (x 2 + 5) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल (px + q) आता है, p का मान ज्ञात कीजिए। क्यू।
हल:

शेष = 2x + 3
px + q = 2x + 3
p = 2 और q = 3।