एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 2
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 2 बहुपद छात्रों को उनकी परीक्षा के लिए कुशलतापूर्वक सीखने में मदद करने के लिए यहां प्रदान किए गए हैं। गणित के विषय विशेषज्ञों ने छात्रों को उनके पहले सत्र की परीक्षा के लिए अच्छी तैयारी करने में मदद करने के लिए ये समाधान तैयार किए हैं। वे इन समाधानों को इस तरह से हल करते हैं कि छात्रों के लिए एनसीईआरटी के समाधानों का उपयोग करके अध्याय 2 बहुपद के प्रश्नों का अभ्यास करना आसान हो जाता है । यह छात्रों के लिए इन गणित एनसीईआरटी कक्षा 10 समाधान में चरण-वार स्पष्टीकरण जोड़कर सीखना आसान बनाता है ।
कक्षा 10 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान छात्रों के लिए एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्ययन संसाधन है। कक्षा 10 के गणित के इन बहुपदों को हल करने से छात्रों को पहली और दूसरी दोनों परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करने में मदद मिलेगी। साथ ही, इन समाधानों को तैयार करते समय 2021-22 के लिए अद्यतन सीबीएसई पाठ्यक्रम का पालन करने पर ध्यान केंद्रित किया जाता है।
एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 2 - बहुपद के उत्तर प्राप्त करें
Exercise - 2.1 पृष्ठ: 28
1. कुछ बहुपद p(x) के लिए y = p(x) के आलेख नीचे चित्र 2.10 में दिए गए हैं। प्रत्येक स्थिति में p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
समाधान:
जीरो खोजने की ग्राफिकल विधि:-
किसी भी बहुपद समीकरण में शून्यों की कुल संख्या = वक्र द्वारा x-अक्ष को प्रतिच्छेद करने की कुल संख्या।
(i) दिए गए ग्राफ में, p(x) के शून्यकों की संख्या 0 है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष के समानांतर है, इसे किसी भी बिंदु पर नहीं काटता है।
(ii) दिए गए ग्राफ में, p(x) के शून्यकों की संख्या 1 है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
(iii) दिए गए ग्राफ में, p(x) के शून्यकों की संख्या 3 है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को किन्हीं तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
(iv) दिए गए ग्राफ में p(x) के शून्यकों की संख्या 2 है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
(v) दिए गए ग्राफ में, p(x) के शून्यकों की संख्या 4 है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
(vi) दिए गए ग्राफ में, p(x) के शून्यकों की संख्या 3 है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
Exercise - 2.2 पृष्ठ: 33
1. निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की पुष्टि कीजिए।
समाधान:
(i) x 2 -2x -8
x 2 - 4x + 2x-8 = x (x-4) + 2 (x-4) = (x-4) (x + 2)
इसलिए, बहुपद समीकरण x 2-2x- 8 के शून्यक (4, -2) हैं
शून्यकों का योग = 4–2 = 2 = -(-2)/1 = -(x का गुणांक)/(x 2 का गुणांक )
शून्यकों का गुणनफल = 4×(-2) = -8 =-(8)/1 = (स्थिर पद)/(x 2 का गुणांक )
(ii) 4s 2 -4s+1
4s 2-2s -2s+ 1 = 2s(2s-1)-1(2s-1) = (2s-1)(2s-1)
इसलिए, बहुपद समीकरण 4s 2-4s+ 1 के शून्यक (1/2, 1/2) हैं।
शून्यकों का योग = (½)+(1/2) = 1 = -(-4)/4 = -(s का गुणांक)/(s 2 का गुणांक )
शून्य का गुणनफल = (1/2)×(1/2) = 1/4 = (स्थिर पद)/(s 2 का गुणांक )
(iii) 6x 2 -3–7x
6x 2 -7x -3 = 6x 2 - 9x + 2x - 3 = 3x (2x - 3) +1 (2x - 3) = (3x + 1) (2x -3)
इसलिए, बहुपद समीकरण 6x 2 –3–7x के शून्यक (-1/3, 3/2) हैं।
शून्यकों का योग = -(1/3)+(3/2) = (7/6) = -(x का गुणांक)/(x 2 का गुणांक )
शून्यकों का गुणनफल = -(1/3)×(3/2) = -(3/6) = (स्थिर पद) /(x 2 का गुणांक )
(iv) 4u 2 + 8u
⇒ 4u (+2)
अत: बहुपद समीकरण 4u 2 + 8u के शून्यक (0, -2) हैं।
शून्यकों का योग = 0+(-2) = -2 = -(8/4) = = -(यू का गुणांक)/(यू 2 का गुणांक )
शून्यकों का गुणनफल = 0×-2 = 0 = 0/4 = (स्थिर पद)/(u 2 का गुणांक )
(v) टी 2-15
टी 2 = 15 या टी = ±√15
इसलिए, बहुपद समीकरण t 2-15 के शून्यक (√15, -√15) हैं
शून्यकों का योग =√15+(-√15) = 0= -(0/1)= -(t का गुणांक) / (t 2 का गुणांक )
शून्यकों का गुणनफल = √15×(-√15) = -15 = -15/1 = (स्थिर पद) / (t 2 का गुणांक )
(vi) 3x 2 -x-4
⇒ 3x 2 -4x+3x-4 = x(3x-4)+1(3x-4) = (3x - 4)(x + 1)
इसलिए, बहुपद समीकरण 3x 2 - x - 4 के शून्यक हैं (4/3, -1)
शून्यकों का योग = (4/3)+(-1) = (1/3)= -(-1/3) = -(x का गुणांक) / (x 2 का गुणांक )
शून्य का गुणनफल=(4/3)×(-1) = (-4/3) = (स्थिर पद) /(x 2 का गुणांक )
2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसमें प्रत्येक दी गई संख्याओं का योग और गुणनफल क्रमशः शून्य हो।
(i) 1/4 , -1
समाधान:
योग के सूत्रों और शून्यकों के गुणनफल से, हम जानते हैं,
शून्यकों का योग = α + β
शून्यकों का गुणनफल = α β
शून्यकों का योग = α + β = 1/4
शून्यकों का गुणनफल = α β = -1
यदि α और β किसी द्विघात बहुपद के शून्यक हों, तो द्विघात बहुपद समीकरण को सीधे इस प्रकार लिखा जा सकता है:-
x 2 - (α + β) x + αβ = 0
x 2 –(1/4)x +(-1) = 0
4x 2 -x-4 = 0
इस प्रकार, 4x 2 -x-4 द्विघात बहुपद है।
(ii) 2, 1/3
समाधान:
शून्यकों का योग = α + β = √2
शून्यकों का गुणनफल = α β = 1/3
यदि α और β किसी द्विघात बहुपद के शून्यक हों, तो द्विघात बहुपद समीकरण को सीधे इस प्रकार लिखा जा सकता है:-
x 2 - (α + β) x + αβ = 0
x 2 -( √2 )x + (1/3) = 0
3x 2 -3 2x+1 = 0
अत: 3x 2 -3 √2x+1 द्विघात बहुपद है ।
(iii) 0, √5
समाधान:
दिया गया,
शून्यकों का योग = α + β = 0
शून्यकों का गुणनफल = α β = √5
∴ यदि α और β किसी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो द्विघात बहुपद समीकरण को सीधे लिखा जा सकता है
जैसा:-
x 2 - (α + β) x + αβ = 0
एक्स 2 - (0) एक्स + √5 = 0
अत: x 2 + 5 द्विघात बहुपद है ।
(iv) 1, 1
समाधान:
दिया गया,
शून्यकों का योग = α + β = 1
शून्यकों का गुणनफल = α β = 1
यदि α और β किसी द्विघात बहुपद के शून्यक हों, तो द्विघात बहुपद समीकरण को सीधे इस प्रकार लिखा जा सकता है:-
x 2 - (α + β) x + αβ = 0
एक्स 2 -एक्स+1 = 0
अत: x 2 –x+ 1 द्विघात बहुपद है।
(v) -1/4, 1/4
समाधान:
दिया गया,
शून्यकों का योग = α + β = -1/4
शून्यकों का गुणनफल = α β = 1/4
यदि α और β किसी द्विघात बहुपद के शून्यक हों, तो द्विघात बहुपद समीकरण को सीधे इस प्रकार लिखा जा सकता है:-
x 2 - (α + β) x + αβ = 0
x 2 –(-1/4)x +(1/4) = 0
4x 2 +x+1 = 0
इस प्रकार, 4x 2 +x+1 द्विघात बहुपद है।
(vi) 4, 1
समाधान:
दिया गया,
शून्यकों का योग = α + β = 4
शून्यकों का गुणनफल = αβ = 1
यदि α और β किसी द्विघात बहुपद के शून्यक हों, तो द्विघात बहुपद समीकरण को सीधे इस प्रकार लिखा जा सकता है:-
x 2 - (α + β) x + αβ = 0
एक्स 2 -4x+1 = 0
अत: x 2 -4x+1 द्विघात बहुपद है।
Exercise - 2.3 पृष्ठ: 36
1. बहुपद p(x) को बहुपद g(x) से भाग दें और निम्नलिखित में से प्रत्येक में भागफल और शेषफल ज्ञात करें:
(i) p(x) = x 3 -3x 2 +5x-3, g(x) = x 2 -2
समाधान:
दिया गया,
लाभांश = p(x) = x 3 -3x 2 +5x-3
भाजक = g(x) = x 2 - 2
इसलिए, विभाजन पर हम प्राप्त करते हैं,
भागफल = x–3
शेष = 7x–9
(ii) पी (एक्स) = एक्स 4 -3x 2 + 4x + 5, जी (एक्स) = एक्स 2 + 1-एक्स
समाधान:
दिया गया,
लाभांश = p(x) = x 4 - 3x 2 + 4x +5
भाजक = g(x) = x 2 +1-x
इसलिए, विभाजन पर हम प्राप्त करते हैं,
भागफल = x 2 + x-3
शेष = 8
(iii) p(x) =x 4 -5x+6, g(x) = 2-x 2
समाधान:
दिया गया,
लाभांश = p(x) =x 4 - 5x + 6 = x 4 +0x 2 -5x+6
भाजक = g(x) = 2-x 2 = -x 2 +2
इसलिए, विभाजन पर हम प्राप्त करते हैं,
भागफल = -x 2 -2
शेष = -5x + 10
2. जाँच करें कि क्या पहला बहुपद दूसरे बहुपद को पहले बहुपद से विभाजित करके दूसरे बहुपद का एक गुणनखंड है:
(i) टी 2 -3, 2t 4 +3t 3 -2t 2 -9t-12
समाधान:
दिया गया,
पहला बहुपद = t 2 -3
दूसरा बहुपद = 2t 4 +3t 3 -2t 2 -9t-12
जैसा कि हम देख सकते हैं, शेषफल 0 के रूप में बचा है। इसलिए, हम कहते हैं कि, t 2 -3, 2t 4 +3t 3 -2t 2 -9t-12 का गुणनखंड है।
(ii)x 2 +3x+1, 3x 4 +5x 3 -7x 2 +2x+2
समाधान:
दिया गया,
पहला बहुपद = x 2 +3x+1
दूसरा बहुपद = 3x 4 +5x 3 -7x 2 +2x+2
जैसा कि हम देख सकते हैं, शेषफल 0 के रूप में बचा है। इसलिए, हम कहते हैं कि, x 2 + 3x + 1 3x 4 +5x 3 -7x 2 +2x+2 का एक गुणनखंड है।
(iii) x 3 -3x +1, x 5 -4x 3 +x 2 +3x+1
समाधान:
दिया गया,
पहला बहुपद = x 3 -3x+1
दूसरा बहुपद = x 5 -4x 3 +x 2 +3x+1
जैसा कि हम देख सकते हैं, शेषफल 0 के बराबर नहीं है। इसलिए, हम कहते हैं कि, x 3 -3x+1 x 5 -4x 3 +x 2 +3x+1 का गुणनखंड नहीं है।
3. 3x 4 +6x 3 -2x 2 -10x-5 के अन्य सभी शून्यक प्राप्त करें, यदि इसके दो शून्यक (5/3) और - (5/3) हैं।
समाधान:
चूँकि यह घात 4 का एक बहुपद समीकरण है, इसलिए कुल 4 मूल होंगे।
(5/3) और - √(5/3) बहुपद f(x) के शून्यक हैं।
(x - √(5/3) ) (x+ √(5/3) = x 2 -(5/3) = 0
(3x 2 −5)=0, दिए गए बहुपद f(x) का एक गुणनखंड है।
अब, जब हम f(x) को (3x 2 −5) से भाग देंगे तो प्राप्त भागफल भी f(x) का गुणनखंड होगा और शेषफल 0 होगा।
इसलिए, 3x 4 +6x 3 -2x 2 -10x-5 = (3x 2 -5) (x 2 +2x+1)
अब, आगे गुणनखंड करने पर (x 2 +2x+1) हम प्राप्त करते हैं,
x 2 +2x+1 = x 2 +x+x+1 = 0
x(x+1)+1(x+1) = 0
(x+1)(x+1) = 0
तो, इसके शून्यक निम्न द्वारा दिए गए हैं: x= −1 और x = −1।
इसलिए, दिए गए बहुपद समीकरण के सभी चार शून्यक हैं:
(5/3),- √(5/3), -1 और -1।
अत: उत्तर है।
4. x 3 -3x 2 +x+2 को एक बहुपद g(x) से विभाजित करने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x-2 और -2x+4 थे। जी (एक्स) खोजें।
समाधान:
दिया गया,
लाभांश, p(x) = x 3 -3x 2 +x+2
भागफल = x-2
शेष = -2x+4
हमें भाजक का मान ज्ञात करना है, g(x) =?
जैसा कि हम जानते हैं,
लाभांश = भाजक × भागफल + शेष
∴ x 3 -3x 2 +x+2 = g(x)×(x-2) + (-2x+4)
x 3 -3x 2 +x+2-(-2x+4) = g(x)×(x-2)
इसलिए, g(x) × (x-2) = x 3 -3x 2 +3x-2
अब, g(x) ज्ञात करने के लिए हम x 3 -3x 2 +3x-2 को (x-2) से भाग देंगे।
इसलिए, g(x) = (x 2 –x+1)
5. बहुपद p(x), g(x), q(x) और r(x) के उदाहरण दीजिए, जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हैं और
(i) डिग्री पी (एक्स) = डिग्री क्यू (एक्स)
(ii) डिग्री क्यू (एक्स) = डिग्री आर (एक्स)
(iii) डिग्री आर (एक्स) = 0
समाधान:
विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, लाभांश p(x) और भाजक g(x) दो बहुपद हैं, जहाँ g(x)≠0. तब हम नीचे दिए गए सूत्र की सहायता से भागफल q(x) और शेष r(x) का मान ज्ञात कर सकते हैं;
लाभांश = भाजक × भागफल + शेष
∴ p(x) = g(x)×q(x)+r(x)
जहाँ r(x) = 0 या r(x) की डिग्री< g(x) की डिग्री।
आइए अब हम प्रत्येक के लिए उदाहरण लेकर विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार दिए गए तीन मामलों का प्रमाण दें।
(i) डिग्री पी (एक्स) = डिग्री क्यू (एक्स)
लाभांश की डिग्री भागफल की डिग्री के बराबर होती है, केवल तभी जब भाजक एक स्थिर पद हो।
आइए एक उदाहरण लेते हैं, p(x) = 3x 2 +3x+3 एक बहुपद है जिसे g(x) = 3 से विभाजित किया जाता है।
तो, (3x 2 +3x+3)/3 = x 2 +x+1 = q(x)
इस प्रकार, आप भागफल q(x) = 2 की डिग्री देख सकते हैं, जो कि लाभांश p(x) की डिग्री के बराबर है।
इसलिए, विभाजन एल्गोरिथ्म यहाँ संतुष्ट है।
(ii) डिग्री क्यू (एक्स) = डिग्री आर (एक्स)
आइए एक उदाहरण लेते हैं, p(x) = x 2 + 3 एक बहुपद है जिसे g(x) = x - 1 से विभाजित किया जाता है।
तो, x 2 + 3 = (x - 1)×(x) + (x + 3)
इसलिए, भागफल q(x) = x
साथ ही, शेषफल r(x) = x + 3
इस प्रकार, आप भागफल q(x) = 1 की घात देख सकते हैं, जो शेष r(x) की घात के बराबर भी है।
इसलिए, विभाजन एल्गोरिथ्म यहाँ संतुष्ट है।
(iii) डिग्री आर (एक्स) = 0
शेषफल की घात 0 केवल तभी होती है जब विभाजन एल्गोरिथ्म के बाद शेष बचा रहता है।
आइए एक उदाहरण लेते हैं, p(x) = x 2 + 1 एक बहुपद है जिसे g(x) = x से विभाजित किया जाता है।
तो, x 2 + 1 = (x)×(x) + 1
इसलिए, भागफल q(x) = x
और, शेष r(x) = 1
स्पष्ट है कि यहाँ पर शेषफल की घात 0 है।
इसलिए, विभाजन एल्गोरिथ्म यहाँ संतुष्ट है।
Exercise - 2.4 पृष्ठ: 36
1. सत्यापित करें कि नीचे दिए गए घन बहुपदों के साथ दी गई संख्याएं उनके शून्यक हैं। प्रत्येक मामले में शून्य और गुणांक के बीच संबंध को भी सत्यापित करें:
(i) 2x 3 +x 2 -5x+2; -1/2, 1, -2
समाधान:
दिया गया है, p(x) = 2x 3 +x 2 -5x+2
और p(x) के शून्यक = 1/2, 1, -2 . हैं
∴ पी(1/2) = 2(1/2) 3 +(1/2) 2 -5(1/2)+2 = (1/4)+(1/4)-(5/2)+ 2 = 0
पी(1) = 2(1) 3 +(1) 2 -5(1)+2 = 0
p(-2) = 2(-2) 3 +(-2) 2 -5(-2)+2 = 0
अतः सिद्ध हुआ कि 1/2, 1, -2 2x 3 +x 2 -5x+2 के शून्यक हैं।
अब, दिए गए बहुपद की सामान्य व्यंजक से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं;
∴ कुल्हाड़ी 3 +बीएक्स 2 +सीएक्स+डी = 2x 3 +x 2 -5x+2
a=2, b=1, c= -5 और d = 2
जैसा कि हम जानते हैं, यदि α, β, घन बहुपद ax 3 +bx 2 +cx+d के शून्यक हैं, तो;
α + β + = -बी / ए
αβ + βγ + α = सी / ए
α βγ = - डी / ए।
अत: बहुपद के शून्यकों का मान रखने पर,
α + β + = ½ + 1 + (- 2) = -1/2 = –b / a
αβ + βγ + α = (1/2 × 1) + (1 × -2) + (- 2 × 1/2) = -5/2 = c / a
α β = ½ × 1 × (-2) = -2/2 = -d / a
इसलिए, शून्य और गुणांक के बीच संबंध संतुष्ट हैं।
(ii) x 3 -4x 2 +5x-2 ; 2, 1, 1
समाधान:
दिया गया है, p(x) = x 3 -4x 2 +5x-2
और p(x) के शून्यक 2,1,1 हैं।
∴ पी (2) = 2 3 -4 (2) 2 +5 (2) -2 = 0
p(1) = 1 3 -(4×1 2 )+(5×1)-2 = 0
अतः सिद्ध हुआ कि 2, 1, 1 x 3 -4x 2 +5x-2 . के शून्यक हैं
अब, दिए गए बहुपद की सामान्य व्यंजक से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं;
∴ कुल्हाड़ी 3 +बीएक्स 2 +सीएक्स+डी = एक्स 3 -4x 2 +5x-2
ए = 1, बी = -4, सी = 5 और डी = -2
जैसा कि हम जानते हैं, यदि α, β, घन बहुपद ax 3 +bx 2 +cx+d के शून्यक हैं, तो;
α + β + = -बी / ए
αβ + βγ + α = सी / ए
α β = - डी / ए।
अत: बहुपद के शून्यकों का मान रखने पर,
α + β + = 2 + 1 + 1 = 4 = - (- 4) / 1 = -बी / ए
αβ + βγ + α = 2 × 1 + 1 × 1 + 1 × 2 = 5 = 5/1 = सी / ए
αβγ = 2×1×1 = 2 = -(-2)/1 = -d/a
इसलिए, शून्य और गुणांक के बीच संबंध संतुष्ट हैं।
2. एक घन बहुपद का योग ज्ञात कीजिए, इसके शून्यकों के गुणनफल का योग एक बार में दो बार लिया जाए, और इसके शून्यकों का गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हो।
समाधान:
आइए मान लें कि घन बहुपद ax 3 +bx 2 +cx+d है और बहुपदों के शून्यकों का मान α, β, है।
दिए गए प्रश्न के अनुसार,
α + β + = -बी / ए = 2/1
αβ + βγ + γα = सी / ए = -7/1
α βγ = -d / a = -14/1
इस प्रकार, उपरोक्त तीन व्यंजकों से हमें बहुपद के गुणांक का मान प्राप्त होता है।
ए = 1, बी = -2, सी = -7, डी = 14
इसलिए, घन बहुपद x 3 -2x 2 -7x+14 . है
3. यदि बहुपद x 3 -3x 2 +x+1 के शून्यक a - b, a, a + b हैं, तो a और b ज्ञात कीजिए।
समाधान:
हमें यहाँ बहुपद के साथ दिया गया है,
पी(एक्स) = एक्स 3 -3x 2 +x+1
और शून्यक a - b, a, a + b . के रूप में दिए गए हैं
अब, दिए गए बहुपद की सामान्य व्यंजक से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं;
px 3 +qx 2 +rx+s = x 3 -3x 2 +x+1
पी = 1, क्यू = -3, आर = 1 और एस = 1
शून्यकों का योग = a - b + a + a + b
-क्यू/पी = 3ए
q और p का मान रखना।
-(-3)/1 = 3a
ए = 1
इस प्रकार, शून्यक 1-बी, 1, 1+बी हैं।
अब, शून्यकों का गुणनफल = 1(1-b)(1+b)
-एस/पी = 1-बी 2
-1/1 = 1-बी 2
ख 2 = 1+1 = 2
बी = ±√2
अत: 1-√2, 1 ,1+√2 x 3 -3x 2 +x+1 के शून्यक हैं।
4. यदि बहुपद x 4 -6x 3 -26x 2 +138x-35 के दो शून्यक 2 ± 3 हैं, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
समाधान:
चूँकि यह घात 4 का एक बहुपद समीकरण है, इसलिए कुल 4 मूल होंगे।
माना f(x) = x 4 -6x 3 -26x 2 +138x-35
चूँकि 2 +√ 3 और 2-√ 3 दिए गए बहुपद f(x) के शून्यक हैं।
∴ [x−(2+√ 3 )] [x−(2-√ 3) ] = 0
(x−2−√ 3 )(x−2+√ 3 ) = 0
उपरोक्त समीकरण को गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है,
x 2 -4x+1, यह दिए गए बहुपद f(x) का गुणनखंड है।
अब, यदि हम f(x) को g(x) से विभाजित करते हैं, तो भागफल भी f(x) का एक गुणनखंड होगा और शेषफल 0 होगा।
तो, x 4 -6x 3 -26x 2 +138x-35 = (x 2 -4x+1)(x 2 -2x−35)
अब, आगे गुणनखंड करने पर (x 2 –2x−35) हम प्राप्त करते हैं,
x 2 –(7−5)x −35 = x 2 – 7x+5x+35 = 0
x(x −7)+5(x−7) = 0
(x+5)(x−7) = 0
तो, इसके शून्यक निम्न द्वारा दिए गए हैं:
एक्स = -5 और एक्स = 7।
इसलिए, दिए गए बहुपद समीकरण के सभी चार शून्यक हैं: 2+√ 3 , 2-√ 3 , -5 और 7।
