NCERT Solutions for Class 10 Math Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय

NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 8 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय छात्रों के लिए सहायक है क्योंकि यह अवधारणाओं को समझने के साथ-साथ CBSE कक्षा 10 के प्रथम सत्र की परीक्षा में अच्छा स्कोर करने में सहायता करता है। एनसीईआरटी समाधान विषय विशेषज्ञों द्वारा डिज़ाइन और समीक्षा किए जाते हैं जो पाठ्यपुस्तक के सभी प्रश्नों को शामिल करते हैं। ये एनसीईआरटी सॉल्यूशंस 2022-23 के सीबीएसई सिलेबस के नवीनतम अपडेट और इसके दिशानिर्देशों के अनुसार, पहले टर्म परीक्षा पैटर्न के अनुसार तैयार किए गए हैं।

कक्षा 10 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान सभी   अध्यायों में मौजूद हर अवधारणा के लिए एक मजबूत आधार प्रदान करता है। छात्र अपनी शंकाओं को स्पष्ट कर सकते हैं और इस अध्याय में मौजूद बुनियादी बातों को समझ सकते हैं। साथ ही, छात्र इन NCERT Solutions for Class 10  Maths Chapter 8 की मदद से प्रत्येक अभ्यास में कठिन समस्याओं को हल कर सकते हैं  ।

एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 8 के उत्तर तक पहुंचें - त्रिकोणमिति का परिचय

Exercise - 8.1 पृष्ठ: 181

1. ABC में, B पर समकोण, AB = 24 सेमी, BC = 7 सेमी। ठानना:

(i) पाप ए, कॉस ए

(ii) पाप सी, कॉस सी

समाधान:

दिए गए त्रिभुज ABC में, B पर समकोण = B = 90°

दिया गया है: AB = 24 सेमी और BC = 7 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा के वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एसी 2 =एबी 2 +बीसी 2

एसी 2  = (24) 2 +7 2

एसी 2  = (576+49)

एसी 2  = 625 सेमी 2

एसी = √625 = 25

इसलिए, एसी = 25 सेमी

(i) पाप (ए), कॉस (ए) खोजने के लिए

हम जानते हैं कि ज्या (या) पाप फलन विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण भुजा के अनुपात के बराबर होता है। तो बन जाता है

पाप (ए) = विपरीत पक्ष / कर्ण = बीसी / एसी = 7/25

कोसाइन या कॉस फंक्शन कर्ण की आसन्न भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है और यह बन जाता है,

Cos (A) = आसन्न भुजा/कर्ण = AB/AC = 24/25

(ii) पाप (सी), कॉस (सी) खोजने के लिए

पाप (सी) = एबी/एसी = 24/25

कॉस (सी) = बीसी/एसी = 7/25

2. आकृति 8.13 में tan P - cot R' ज्ञात कीजिए

समाधान:

दिए गए त्रिभुज PQR में, दिया गया त्रिभुज Q पर समकोण है और दिए गए माप हैं:

पीआर = 13 सेमी,

पीक्यू = 12 सेमी

चूँकि दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज है, भुजा QR ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग कीजिए

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा के वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होते हैं।

पीआर 2 = क्यूआर 2 + पीक्यू 2

PR और PQ के मानों को प्रतिस्थापित कीजिए

13 2 = क्यूआर 2 +12 2

169 = क्यूआर 2 +144

इसलिए, क्यूआर 2 = 169−144

क्यूआर 2 = 25

क्यूआर = √25 = 5

अत: भुजा QR = 5 cm

टैन पी - खाट आर खोजने के लिए:

त्रिकोणमितीय अनुपात के अनुसार, स्पर्शरेखा फलन विपरीत भुजा की लंबाई और आसन्न भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, tan (P) का मान हो जाता है

तन (पी) = विपरीत पक्ष / आसन्न पक्ष = क्यूआर / पीक्यू = 5/12

चूँकि cot फलन tan फलन का व्युत्क्रम है, cot फलन का अनुपात बन जाता है,

खाट (R) = आसन्न भुजा/विपरीत भुजा = QR/PQ = 5/12

इसलिए,

तन (पी) - खाट (आर) = 5/12 - 5/12 = 0

इसलिए, tan(P) – cot(R) = 0

3. यदि sin A = 3/4, cos A और tan A की गणना करें।

समाधान:

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज ABC है, जो B पर समकोण है

दिया गया है: पाप A = 3/4

हम जानते हैं कि पाप फलन विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण भुजा के अनुपात के बराबर होता है।

इसलिए, पाप ए = विपरीत पक्ष / कर्ण = 3/4

माना BC 3k होगा और AC 4k . होगा

जहाँ k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण भुजा के वर्ग समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होते हैं और हमें प्राप्त होता है,

एसी 2 =एबी 2 + बीसी 2

एसी और बीसी के मान को प्रतिस्थापित करें

(4k) 2 =AB 2 + (3k) 2

16k 2 −9k 2 =AB 2

एबी 2 =7k 2

इसलिए, AB = √7k

अब, हमें cos A और tan A का मान ज्ञात करना है

हम जानते हैं कि,

Cos (A) = आसन्न भुजा/कर्ण

AB और AC के मान को प्रतिस्थापित करें और अंश और हर दोनों में अचर k को रद्द करें, हमें प्राप्त होता है

एबी/एसी = √7k/4k = √7/4

इसलिए, कॉस (ए) = √7/4

तन (ए) = विपरीत पक्ष/आसन्न पक्ष

BC और AB के मान को प्रतिस्थापित करें और अंश और हर दोनों में अचर k को रद्द करें, हम प्राप्त करते हैं,

बीसी/एबी = 3k/√7k = 3/√7

इसलिए, तन ए = 3/√7

4. दिया गया 15 cot A = 8, sin A और sec A ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज ABC है, जो B पर समकोण है

दिया गया है: 15 खाट A = 8

तो, खाट ए = 8/15

हम जानते हैं कि cot फलन आसन्न भुजा की विपरीत भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है।

इसलिए, खाट A = आसन्न भुजा/विपरीत भुजा = AB/BC = 8/15

माना AB 8k होगा और BC 15k . होगा

जहाँ k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण भुजा के वर्ग समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होते हैं और हमें प्राप्त होता है,

एसी 2 =एबी 2 + बीसी 2

AB और BC का मान रखिए

एसी 2 = (8k) 2 + (15k) 2

एसी 2 = 64k 2 + 225k 2

एसी 2 = 289k 2

इसलिए, एसी = 17k

अब, हमें sin A और sec A का मान ज्ञात करना है

हम जानते हैं कि,

पाप (ए) = विपरीत पक्ष / कर्ण

BC और AC के मान को प्रतिस्थापित करें और अंश और हर दोनों में अचर k को रद्द करें, हमें प्राप्त होता है

पाप ए = बीसी/एसी = 15k/17k = 15/17

इसलिए, पाप ए = 15/17

चूँकि secant या sec फलन, cos फलन का व्युत्क्रम होता है जो कर्ण की भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा के अनुपात के बराबर होता है।

सेक (ए) = कर्ण/आसन्न पक्ष

BC और AB के मान को प्रतिस्थापित करें और अंश और हर दोनों में अचर k को रद्द करें, हम प्राप्त करते हैं,

एसी/एबी = 17k/8k = 17/8

इसलिए सेकंड (ए) = 17/8

5. दिया गया सेकंड = 13/12 अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करें

समाधान:

हम जानते हैं कि sec फलन, cos फलन का व्युत्क्रम है जो कर्ण भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा के अनुपात के बराबर है।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज ABC है, जो B पर समकोण है

sec =13/12 = कर्ण/आसन्न भुजा = AC/AB

माना AC 13k और AB 12k . होगा

जहाँ k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण भुजा के वर्ग समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होते हैं और हमें प्राप्त होता है,

एसी 2 =एबी 2 + बीसी 2

AB और AC का मान रखिए

(13के) 2 = (12के) 2 + ईसा पूर्व 2

169k 2 = 144k 2 + BC 2

169k 2 = 144k 2 + BC 2

ईसा पूर्व 2 = 169k 2 - 144k 2

ईसा पूर्व 2 = 25k 2

इसलिए, बीसी = 5k

अब, अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों में संगत मानों को प्रतिस्थापित करें

इसलिए,

पाप θ = विपरीत भुजा/कर्ण = BC/AC = 5/13

Cos = आसन्न भुजा/कर्ण = AB/AC = 12/13

tan θ = सम्मुख भुजा/आसन्न भुजा = BC/AB = 5/12

Cosec = कर्ण/विपरीत भुजा = AC/BC = 13/5

खाट = आसन्न भुजा/विपरीत भुजा = AB/BC = 12/5

6. यदि A और ∠B न्यून कोण हैं जैसे cos A = cos B, तो दर्शाइए कि A = B.

समाधान:

आइए हम त्रिभुज ABC मान लें जिसमें CD⊥AB

दिया है कि कोण A और B न्यून कोण हैं, जैसे कि

कॉस (ए) = कॉस (बी)

लिए गए कोणों के अनुसार, cos अनुपात इस प्रकार लिखा जाता है

एडी/एसी = बीडी/बीसी

अब, पदों को आपस में बदलें, हमें प्राप्त होता है

एडी/बीडी = एसी/बीसी

आइए एक स्थिर मान लें

एडी/बीडी = एसी/बीसी = के

अब समीकरण पर विचार करें

एडी = के बीडी …(1)

एसी = के बीसी …(2)

CAD और CBD में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने से हम प्राप्त करते हैं,

सीडी 2 = बीसी 2 - बीडी 2 … (3)

सीडी 2 =एसी 2 -एडी 2  ….(4)

समीकरण (3) और (4) से हम पाते हैं,

एसी 2 -एडी 2 = बीसी 2 -बीडी 2

अब समीकरणों (1) और (2) को (3) और (4) में बदलें

के 2 (बीसी 2 -बीडी 2 )=(बीसी 2 -बीडी 2 ) के 2 =1

इस मान को समीकरण में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

एसी = बीसी

∠A=∠B (समान भुजा के सम्मुख कोण समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं)

7. यदि खाट = 7/8 है, तो मूल्यांकन कीजिए :

(i) (1 + sin )(1 - sin )/(1+cos )(1-cos )

( ii ) खाट 2

समाधान:

मान लीजिए कि एक ABC है जिसमें B = 90° और ∠C = . है

दिया गया:

खाट = BC/AB = 7/8

माना BC = 7k और AB = 8k, जहाँ k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार ABC में हम पाते हैं।

एसी 2 = एबी 2 + बीसी 2

एसी 2 = (8k) 2 +(7k) 2

एसी 2 = 64k 2 +49k 2

एसी 2 = 113k 2

एसी = √113 के

साइन और कॉस फंक्शन अनुपात के अनुसार, इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

sin θ = AB/AC = विपरीत भुजा/कर्ण = 8k/√113 k = 8/√113 और

cos = आसन्न भुजा/कर्ण = BC/AC = 7k/√113 k = 7/√113

अब sin फलन और cos फलन के मान लागू करें:

8. यदि 3 खाट ए = 4, जांचें कि (1-तन 2 ए)/(1+तन 2 ए) = कॉस 2 ए - पाप 2 ए या नहीं।

समाधान:

माना ABC जिसमें B=90° . है

हम जानते हैं कि, cot फलन tan फलन का व्युत्क्रम है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है

खाट(ए) = एबी/बीसी = 4/3

माना AB = 4k और BC =3k, जहाँ k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

एसी 2 =एबी 2 +बीसी 2

एसी 2 =(4के) 2 +(3के) 2

एसी 2 =16k 2 +9k 2

एसी 2 = 25k 2

एसी = 5k

अब, अनुपातों के अनुरूप मान लागू करें

तन (ए) = बीसी/एबी = 3/4

पाप (ए) = बीसी/एसी = 3/5

क्योंकि (ए) = एबी/एसी = 4/5

अब लेफ्ट हैंड साइड (LHS) की राइट हैंड साइड (RHS) से तुलना करें

चूँकि, LHS और RHS दोनों = 7/25

आरएचएस = एलएचएस

अत: (1-tan 2 A)/(1+tan 2 A) = cos 2 A - sin 2 A   सिद्ध होता है

9. त्रिभुज ABC में, B पर समकोण, यदि tan A = 1/√3 है, तो इसका मान ज्ञात कीजिए:

(i) sin A cos C + cos A sin C

(ii) cos A cos C - sin A sin C

समाधान:

माना ABC जिसमें B=90° . है

तन ए = बीसी/एबी = 1/√3

माना BC = 1k और AB = 3 k,

जहाँ k समस्या की धनात्मक वास्तविक संख्या है

ABC में पाइथागोरस प्रमेय से हम पाते हैं:

एसी 2 =एबी 2 +बीसी 2

एसी 2 =(√3 के) 2 +(के) 2

एसी 2 =3k 2 +k 2

एसी 2 = 4k 2

एसी = 2k

अब cos A, sin A . के मान ज्ञात कीजिए

पाप ए = बीसी/एसी = 1/2

कॉस ए = एबी/एसी = √3/2

फिर cos C और sin C . के मान ज्ञात कीजिए

पाप सी = एबी/एसी = 3/2

कॉस सी = बीसी/एसी = 1/2

अब, दी गई समस्या में मानों को प्रतिस्थापित करें

(i) sin A cos C + cos A sin C = (1/2) ×(1/2 )+ √3/2 ×√3/2 = 1/4 + 3/4 = 1

(ii) cos A cos C - sin A sin C = ( 3/2 ​​)(1/2) - (1/2) ( 3/2 ​​) = 0

10. PQR में, Q पर समकोण, PR + QR = 25 सेमी और PQ = 5 सेमी। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए

समाधान:

दिए गए त्रिभुज PQR में, Q पर समकोण, निम्नलिखित माप हैं:

पीक्यू = 5 सेमी

पीआर + क्यूआर = 25 सेमी

अब मान लेते हैं, QR = x

पीआर = 25-क्यूआर

पीआर = 25- x

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

पीआर 2 = पीक्यू 2 + क्यूआर 2

PR का मान x . के रूप में रखें

(25- x) 2 = 5 2 + x 2

25 2 + x 2 - 50x = 25 + x 2

625 + x 2 -50x -25 - x 2 = 0

-50x = -600

एक्स = -600/-50

एक्स = 12 = क्यूआर

अब, PR . का मान ज्ञात कीजिए

पीआर = 25- क्यूआर

QR का मान बदलें

पीआर = 25-12

पीआर = 13

अब, दी गई समस्या के मान को प्रतिस्थापित करें

(1) sin p = सम्मुख भुजा/कर्ण = QR/PR = 12/13

(2) Cos p = आसन्न भुजा/कर्ण = PQ/PR = 5/13

(3) टैन पी = विपरीत पक्ष/आसन्न पक्ष = क्यूआर/पीक्यू = 12/5

11. बताइए कि निम्नलिखित सत्य हैं या असत्य। आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

(i) tan A का मान हमेशा 1 से कम होता है।

(ii) कोण ए के कुछ मान के लिए सेकंड ए = 12/5।

(iii)cos A कोण A के कोसेकेंट के लिए उपयोग किया जाने वाला संक्षिप्त नाम है।

(iv) खाट ए खाट और ए का उत्पाद है।

(v) sin = 4/3 किसी कोण θ के लिए।

समाधान:

(i) tan A का मान हमेशा 1 से कम होता है।

उत्तर: असत्य

प्रमाण: ΔMNC में जिसमें ∠N = 90∘,

एमएन = 3, एनसी = 4 और एमसी = 5

tan M का मान = 4/3 जो इससे अधिक है।

त्रिभुज को 3, 4 और कर्ण = 5 के बराबर भुजाओं के साथ बनाया जा सकता है क्योंकि यह पाइथागोरस प्रमेय का पालन करेगा।

एमसी 2 = एमएन 2 +एनसी 2

5 2 =3 2 +4 2

25=9+16

25  =  25

(ii) कोण A के कुछ मान के लिए सेकंड A = 12/5

उत्तर: सत्य

औचित्य: माना एक ΔMNC जिसमें ∠N = 90º,

MC=12k और MB=5k, जहां k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

पाइथागोरस प्रमेय से हम पाते हैं,

एमसी 2 = एमएन 2 +एनसी 2

(12के) 2 =(5के) 2 +एनसी 2

नेकां 2 +25k 2 = 144k 2

नेकां 2 =119k 2

ऐसा त्रिभुज संभव है क्योंकि यह पाइथागोरस प्रमेय का पालन करेगा।

(iii) cos A कोण A के कोसेकेंट के लिए प्रयुक्त संक्षिप्त नाम है।

उत्तर: असत्य

औचित्य: कोण M के कोसेकेंट के लिए प्रयुक्त संक्षिप्त नाम cosec M है। क्योंकि M कोण M की कोज्या के लिए प्रयुक्त संक्षिप्त नाम है।

(iv) खाट ए खाट और ए का उत्पाद है।

उत्तर: असत्य

औचित्य: cot M, cot और M का गुणनफल नहीं है। यह M का कोटैंजेंट है।

(v) sin = 4/3 किसी कोण θ के लिए।

उत्तर : असत्य

औचित्य: पाप θ = विपरीत/कर्ण

हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।

sin θ हमेशा 1 से कम होगा और θ के किसी भी मान के लिए यह कभी भी 4/3 नहीं हो सकता है।

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Exercise - 8.2 पृष्ठ: 187

1. निम्नलिखित का मूल्यांकन करें:

(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

(ii) 2 tan 2 45° + cos 2 30° - sin 2 60

समाधान:

(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

सबसे पहले, दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात कीजिए

पाप 30° = 1/2

cos 30° = √3/2

पाप 60° = 3/2

क्योंकि 60°= 1/2

अब, दी गई समस्या में मानों को प्रतिस्थापित करें

sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = √3/2 ×√3/2 + (1/2) ×(1/2 ) = 3/4+1/4 = 4/4 =1

(ii) 2 tan 2 45° + cos 2 30° - sin 2 60

हम जानते हैं कि, त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान हैं:

पाप 60° = √3/2

cos 30° = √3/2

तन 45° = 1

दी गई समस्या में मानों को प्रतिस्थापित कीजिए

2 tan 2 45° + cos 2 30° - sin 2 60 = 2(1) 2 + (√3/2) 2 -(√3/2) 2

2 tan 2 45° + cos 2 30° - sin 2 60 = 2 + 0

2 tan 2 45° + cos 2 30° - sin 2 60 = 2

(iii) cos 45°/(sec 30°+cosec 30°)

हम जानते हैं कि,

cos 45° = 1/√2

सेकंड 30° = 2/√3

कोसेक 30° = 2

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है

अब, अंश और हर दोनों को √2 से गुणा करें, हमें मिलता है

इसलिए, cos 45°/(sec 30°+cosec 30°) = (3√2 - √6)/8

हम जानते हैं कि,

पाप 30° = 1/2

तन 45° = 1

कोसेक 60° = 2/√3

सेकंड 30° = 2/√3

cos 60° = 1/2

खाट 45° = 1

दी गई समस्या में मानों को प्रतिस्थापित कीजिए, हमें प्राप्त होता है

हम जानते हैं कि,

cos 60° = 1/2

सेकंड 30° = 2/√3

तन 45° = 1

पाप 30° = 1/2

cos 30° = √3/2

अब, दी गई समस्या में मानों को प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है

(5cos 2 60° + 4sec 2 30° - tan 2 45°)/(sin 2 30° + cos 2 30°)

= 5(1/2) 2 +4(2/√3) 2 -1 2 /(1/2) 2 +(√3/2) 2

 = (5/4+16/3-1)/(1/4+3/4)

= (15+64-12)/12/(4/4)

= 67/12

2. सही विकल्प चुनें और अपनी पसंद का औचित्य साबित करें:
(i) 2tan 30°/1+tan 2 30° =
(A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
( ii) 1-tan 2 45°/1+tan 2 45° =
(A) tan 90° (B) 1 (C) sin 45° (D) 0
(iii) sin 2A = 2 sin A सत्य है जब A =
(ए) 0 डिग्री (बी) 30 डिग्री (सी) 45 डिग्री (डी) 60 डिग्री

(iv) 2tan30°/1-tan 2 30° =
(A) cos 60° (B) sin 60° (C) tan 60° (D) sin 30°

समाधान:

(i) (ए) सही है।

दिए गए समीकरण में tan 30° को प्रतिस्थापित कीजिए

तन 30° = 1/√3

2 तन 30°/1+तन 2 30° = 2(1/√3)/1+(1/√3) 2

= (2/√3)/(1+1/3) = (2/√3)/(4/3)

= 6/4√3 = √3/2 = पाप 60°

प्राप्त समाधान त्रिकोणमितीय अनुपात sin 60° . के बराबर है

(ii) (डी) सही है।

दिए गए समीकरण में tan 45° को प्रतिस्थापित कीजिए

तन 45° = 1

1-तन 2 45°/1+तन 2 45° = (1-1 2 )/(1+1 2 )

= 0/2 = 0

उपरोक्त समीकरण का हल 0 है।

(iii) (ए) सही है।

A का मान ज्ञात करने के लिए विकल्पों में दी गई घात को एक-एक करके प्रतिस्थापित कीजिए

sin 2A = 2 sin A सत्य है जब A = 0°

जैसे sin 2A = sin 0° = 0

2 पाप ए = 2 पाप 0° = 2 × 0 = 0

या,

डिग्री मान ज्ञात करने के लिए sin 2A सूत्र लागू करें

sin 2A = 2sin A cos A

⇒2sin A cos A = 2 sin A

⇒ 2cos A = 2 cos A = 1

अब, हमें यह जांचना है कि समाधान 1 के रूप में प्राप्त करने के लिए, किस डिग्री मान को लागू करना है।

जब 0 डिग्री को cos मान पर लागू किया जाता है, अर्थात, cos 0 =1

इसलिए, ए = 0°

(iv) (सी) सही है।

दिए गए समीकरण में tan 30° को प्रतिस्थापित कीजिए

तन 30° = 1/√3

2तन30 °/1-तन 2 30° = 2(1/√3)/1-(1/√3) 2

= (2/√3)/(1-1/3) = (2/√3)/(2/3) = √3 = तन 60°

दिए गए समीकरण का मान tan 60° के बराबर है।

3. यदि tan (A + B) = 3 और tan (A - B) = 1/√3, 0° <A + B ≤ 90°; ए> बी, ए और बी खोजें।

समाधान:

तन (ए + बी) = √3

चूँकि 3 = tan 60°

अब डिग्री मान बदलें

तन (ए + बी) = तन 60°

(ए + बी) = 60° ... (i)

उपरोक्त समीकरण को समीकरण के रूप में माना जाता है (i)

तन (ए - बी) = 1/√3

चूँकि 1/√3 = tan 30°

अब डिग्री मान बदलें

तन (ए - बी) = तन 30°

(ए - बी) = 30° … समीकरण (ii)

अब समीकरण (i) और (ii) को जोड़ें, हमें प्राप्त होता है

ए + बी + ए - बी = 60° + 30°

शर्तों को रद्द करें B

2ए = 90°

ए = 45 डिग्री

अब समीकरण (i) में A का मान बदलकर B का मान ज्ञात कीजिए

45° + बी = 60°

बी = 60° - 45°

बी = 15°

इसलिए A = 45° और B = 15°

4. बताएं कि निम्नलिखित सत्य हैं या गलत। आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

(i) पाप (ए + बी) = पाप ए + पाप बी।

(ii) बढ़ने पर sin का मान बढ़ता है।

(iii) बढ़ने पर cos का मान बढ़ता है।

(iv) sin = cos के सभी मानों के लिए।

(v) cot A, A = 0° के लिए परिभाषित नहीं है।

समाधान:

(i) झूठा।

औचित्य:

मान लीजिए कि A = 30° और B = 60° है, तो

पाप (ए + बी) सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें, हम प्राप्त करते हैं

पाप (ए + बी) = पाप (30 डिग्री + 60 डिग्री) = पाप 90 डिग्री = 1 और,

पाप ए + पाप बी = पाप 30 डिग्री + पाप 60 डिग्री

= 1/2 + √3/2 = 1+√3/2

चूँकि प्राप्त मान समान नहीं हैं, इसलिए हल असत्य है।

(ii) सच।

औचित्य:

यूनिट सर्कल के अनुसार प्राप्त मूल्यों के अनुसार, पाप के मूल्य हैं:

पाप 0° = 0

पाप 30° = 1/2

पाप 45° = 1/√2

पाप 60° = √3/2

पाप 90° = 1

इस प्रकार बढ़ने पर sin का मान बढ़ता है। अत: कथन सत्य है

(iii) झूठा।

इकाई वृत्त के अनुसार प्राप्त मूल्यों के अनुसार, cos के मान हैं:

cos 0° = 1

cos 30° = √3/2

cos 45° = 1/√2

cos 60° = 1/2

cos 90° = 0

इस प्रकार, जैसे-जैसे बढ़ता है, cos का मान घटता जाता है। अत: ऊपर दिया गया कथन असत्य है।

(iv) असत्य

sin θ = cos , जब एक समकोण त्रिभुज में (π/4) के 2 कोण होते हैं। अतः उपरोक्त कथन असत्य है।

(v) सच।

चूँकि cot फलन tan फलन का व्युत्क्रम है, इसलिए इसे इस प्रकार भी लिखा जाता है:

cot A = cos A/sin A

अब स्थानापन्न A = 0°

cot 0° = cos 0°/sin 0° = 1/0 = अपरिभाषित।

इसलिए, यह सच है

---

Exercise - 8.3 पृष्ठ: 189

1. मूल्यांकन करें:

(i) sin 18°/cos 72°        

(ii) तन 26°/खाट 64°      

(iii) cos 48° - sin 42°      

(iv) cosec 31° - sec 59°

समाधान:

(i) sin 18°/cos 72°

इसे सरल बनाने के लिए, sin फंक्शन को cos फंक्शन में बदलें

हम जानते हैं कि 18° को 90°-18° लिखा जाता है, जो कि cos 72° के बराबर है।

= sin (90° - 18°) /cos 72°

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए मान को प्रतिस्थापित करें

= cos 72° /cos 72° = 1

(ii) तन 26°/खाट 64°

इसे सरल बनाने के लिए, tan फलन को cot फलन में बदलें

हम जानते हैं कि 26° को 90° - 26° लिखा जाता है, जो कि खाट 64° के बराबर होता है।

= तन (90° - 26°)/खाट 64°

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए मान को प्रतिस्थापित करें

= खाट 64°/खाट 64° = 1

(iii) cos 48° - sin 42°

इसे सरल बनाने के लिए, कॉस फंक्शन को सिन फंक्शन में बदलें

हम जानते हैं कि 48° को 90°-42° लिखा जाता है, जो कि sin 42° के बराबर है।

= cos (90° - 42°) - sin 42°

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए मान को प्रतिस्थापित करें

= sin 42° - sin 42° = 0

(iv) cosec 31° - sec 59°

इसे सरल बनाने के लिए, cosec फ़ंक्शन को sec फ़ंक्शन में बदलें

हम जानते हैं कि, 31° को 90° - 59° लिखा जाता है, जो कि 59° . के बराबर है

= कोसेक (90° - 59°) - सेकंड 59°

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए मान को प्रतिस्थापित करें

= सेकंड 59° - सेकंड 59° = 0

2. दिखाएँ कि:

(i) तन 48° तन 23° तन 42° तन 67° = 1

(ii) cos 38° cos 52° - sin 38° sin 52° = 0

समाधान:

(i) तन 48° तन 23° तन 42° तन 67°

कुछ tan फलनों को cot फलनों में परिवर्तित करके दी गई समस्या को सरल कीजिए

हम जानते हैं कि tan 48° = tan (90° - 42°) = cot 42°

तन 23° = तन (90° - 67°) = खाट 67°

= तन (90° - 42°) तन (90° - 67°) तन 42° तन 67°

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें

= खाट 42° खाट 67° तन 42° तन 67°

= (खाट 42° तन 42°) (खाट 67° तन 67°) = 1×1 = 1

(ii) cos 38° cos 52° - sin 38° sin 52°

कुछ कॉस फलनों को पाप फलनों में परिवर्तित करके दी गई समस्या को सरल कीजिए

हम जानते हैं कि,

cos 38° = cos (90° - 52°) = sin 52°

cos 52°= cos (90°-38°) = sin 38°

= cos (90° - 52°) cos (90°-38°) - sin 38° sin 52°

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें

= पाप 52° पाप 38° - पाप 38° पाप 52° = 0

3. यदि tan 2A = cot (A - 18°), जहां 2A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए ।

समाधान:

तन 2A = खाट (A-18°)

हम जानते हैं कि tan 2A = cot (90° - 2A)

दिए गए प्रश्न में उपरोक्त समीकरण को प्रतिस्थापित कीजिए

खाट (90° – 2A) = खाट (A -18°)

अब, कोणों को समान करें,

90° - 2A = A- 18° 108° = 3A

ए = 108° / 3

अत: A का मान = 36°

4. यदि tan A = cot B, सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°।

समाधान:

तन ए = खाट बी

हम जानते हैं कि खाट बी = तन (90° - बी)

A + B = 90° सिद्ध करने के लिए, दिए गए प्रश्न में उपरोक्त समीकरण को प्रतिस्थापित कीजिए

तन ए = तन (90 डिग्री - बी)

ए = 90° - बी

ए + बी = 90°

इसलिए सिद्ध।

5. यदि sec 4A = cosec (A - 20°), जहाँ 4A एक न्यून कोण है, A का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान:

सेकंड 4A = cosec (A - 20°)

हम जानते हैं कि sec 4A = cosec (90° - 4A)

A का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए प्रश्न में उपरोक्त समीकरण को प्रतिस्थापित कीजिए

cosec (90° - 4A) = cosec (A - 20°)

अब, कोणों की बराबरी करें

90° – 4A= A- 20°

110° = 5A

ए = 110°/5 = 22°

अत: A का मान = 22°

6. यदि A, B और C एक त्रिभुज ABC के अंतः कोण हैं, तो दर्शाइए कि

    पाप (बी+सी/2) = क्योंकि ए/2

समाधान:

हम जानते हैं कि किसी दिए गए त्रिभुज के लिए, त्रिभुज के सभी अंतः कोणों का योग 180° . के बराबर होता है

ए + बी + सी = 180°….(1)

(बी+सी)/2 का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को सरल कीजिए (1)

⇒ बी + सी = 180° - ए

(बी+सी)/2 = (180°-ए)/2

(बी+सी)/2 = (90°-ए/2)

अब, दोनों पक्षों को पाप फलनों से गुणा करें, हमें प्राप्त होता है

⇒ पाप (बी+सी)/2 = पाप (90°-ए/2)

चूँकि sin (90°-A/2) = cos A/2, उपरोक्त समीकरण के बराबर है

पाप (बी+सी)/2 = क्योंकि ए/2

इसलिए साबित हुआ।

7. sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों में व्यक्त करें।

समाधान:

दिया गया:

sin 67° + cos 75°

sin के रूप में cos function और cos को sin function के रूप में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

पाप 67° = पाप (90° - 23°)

cos 75° = cos (90° - 15°)

तो, sin 67° + cos 75° = sin (90° - 23°) + cos (90° - 15°)

अब, उपरोक्त समीकरण को सरल कीजिए

= cos 23° + sin 15°

इसलिए sin 67° + cos 75° को cos 23° + sin 15° . के रूप में भी व्यक्त किया जाता है

---

Exercise - 8.4 पृष्ठ: 193

1. त्रिकोणमितीय अनुपात sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।

समाधान:

दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपातों को खाट फलनों के रूप में बदलने के लिए, त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करें

हम जानते हैं कि,

कोसेक 2 ए  - खाट 2 ए = 1

कोसेक 2 ए = 1 + खाट 2 ए

चूँकि cosec फलन sin फलन का विलोम है, इसे इस प्रकार लिखा जाता है

1/पाप 2 ए = 1 + खाट 2 ए

अब, पदों को पुनर्व्यवस्थित करें, यह बन जाता है

पाप 2 ए = 1/(1+खाट 2 ए)

अब, दोनों ओर वर्गमूल लें, हमें प्राप्त होता है

पाप ए = ±1/(√(1+खाट 2 ए)

उपरोक्त समीकरण cot फलन के रूप में sin फलन को परिभाषित करता है

अब, sec फलन को cot फलन के रूप में व्यक्त करने के लिए, इस सूत्र का प्रयोग करें

पाप 2 ए = 1/ (1+खाट 2 ए)

अब, sin फलन को cos फलन के रूप में निरूपित करें

1 - cos 2 A = 1/ (1+cot 2 A)

शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें,

cos 2 A = 1 - 1/(1+cot 2 A)

⇒cos 2 A = (1-1+cot 2 A)/(1+cot 2 A)

चूँकि sec फलन cos फलन का विलोम है,

⇒ 1/सेकंड 2 ए = खाट 2 ए/(1+खाट 2 ए)

दोनों पक्षों के व्युत्क्रम और वर्गमूल लें, तो हमें प्राप्त होता है

सेकंड ए = ±√ (1+खाट 2 ए)/cotA

अब, tan फलन को cot फलन के रूप में व्यक्त करना

tan A = sin A/cos A और cot A = cos A/sin A

चूँकि cot फलन tan फलन का विलोम है, इसलिए इसे इस प्रकार लिखा जाता है

तन ए = 1/खाट ए

2. A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।

हल:

Cos A फ़ंक्शन, सेकंड A के संदर्भ में:

सेकंड ए = 1/कॉस ए

क्योंकि ए = 1/सेकंड ए

सेकंड ए के संदर्भ में सेकंड ए फ़ंक्शन:

cos 2 A + sin 2 A = 1

शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें

पाप 2 ए = 1 - कॉस 2 ए

पाप 2 ए = 1 - (1/सेकंड 2 ए)

पाप 2 ए = (सेकंड 2 ए-1)/सेकंड 2 ए

पाप ए = ± (सेकंड 2 ए-1)/सेकंड ए

सेकंड ए के संदर्भ में कोसेक ए फ़ंक्शन:

पाप ए = 1/कोसेक ए

⇒cosec A = 1/sin A

कोसेक ए = ± सेकंड ए / √ (सेकंड 2 ए -1)

अब, सेकंड ए के संदर्भ में टैन ए फ़ंक्शन:

सेकंड 2 ए - तन 2 ए = 1

शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें

तन 2 ए = सेकंड 2 ए - 1

तन ए = (सेकंड 2 ए -1)

cot A फंक्शन सेकंड A के संदर्भ में:

तन ए = 1/खाट ए

खाट ए = 1/तन ए

खाट ए = ±1/√(सेकंड 2 ए -1)

3. मूल्यांकन करें:

(i) (sin 2 63° + sin 2 27°)/(cos 2 17° + cos 2 73°)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°

समाधान:

(i) (sin 2 63° + sin 2 27°)/(cos 2 17° + cos 2 73°)

इसे सरल बनाने के लिए, कुछ पाप कार्यों को कॉस फ़ंक्शन में और कॉस फ़ंक्शन को पाप फ़ंक्शन में परिवर्तित करें और यह बन जाता है,

= [पाप 2 (90°-27°) + पाप 2 27°] / [cos 2 (90°-73°) + cos 2 73°)]

= (cos 2 27°  + sin 2 27°)/(sin 2 27° + cos 2 73°)

= 1/1 = 1 (क्योंकि sin 2 A + cos 2 A = 1)

इसलिए, (sin 2 63° + sin 2 27°)/(cos 2 17° + cos 2 73°) = 1

(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°

इसे सरल बनाने के लिए, कुछ पाप कार्यों को कॉस फ़ंक्शन में और कॉस फ़ंक्शन को पाप फ़ंक्शन में परिवर्तित करें और यह बन जाता है,

= sin(90°-25°) cos 65° + cos (90°-65°) sin 65°

= cos 65° cos 65° + sin 65° sin 65°

= cos 2 65°  + sin 2 65° = 1 (क्योंकि sin 2 A + cos 2 A = 1)

अत: sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65° = 1

4. सही विकल्प चुनें। अपनी पसंद का औचित्य सिद्ध करें।
(i) 9 सेकेंड 2 ए - 9 टैन 2 ए =
(ए) 1 (बी) 9 (सी) 8 (डी) 0
(ii) (1 + टैन θ + सेकेंड ) (1 + खाट θ - कोसेक θ)
(ए) 0 (बी) 1 (सी) 2 (डी) - 1
(iii) (सेकंड ए + तन ए) (1 - पाप ए) =
(ए) सेकंड ए (बी) पाप ए (सी) कोसेक ए ( डी) कॉस ए

(iv) 1+tan 2 A/1+cot 2 A = 

      (ए) सेकंड 2 ए (बी) -1 (सी) खाट 2 ए (डी) तन 2 ए

समाधान:

(i) (बी) सही है।

औचित्य:

9 बाहर ले लो, और यह बन जाता है

9 सेकंड 2 ए - 9 तन 2 ए

= 9 (सेकंड 2 ए - तन 2 ए)

= 9×1 = 9 (∵ sec2 A - tan2 A = 1)

इसलिए, 9 सेकंड 2 ए - 9 तन 2 ए = 9

(ii) (सी) सही है

औचित्य:

(1 + तन + सेकंड ) (1 + खाट θ - cosec )

हम जानते हैं कि, tan = sin θ/cos

सेकंड θ = 1/ क्योंकि

खाट = क्योंकि /पाप

कोसेक = 1/पाप

अब, दी गई समस्या में उपरोक्त मानों को प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है

= (1 + sin /cos + 1/ cos ) (1 + cos θ/sin θ – 1/sin )

उपरोक्त समीकरण को सरल कीजिए,

= (cos +sin θ+1)/cos × (sin +cos θ-1)/sin

= (cos +sin θ) 2 -1 2 /(cos sin θ)

= (cos 2 + sin 2 θ + 2cos sin θ -1)/(cos sin )

= (1+ 2cos sin θ -1)/(cos sin θ) (चूंकि cos 2 + sin 2 θ = 1)

= (2cos sin θ)/(cos sin θ) = 2

इसलिए, (1 + tan + sec ) (1 + cot θ - cosec ) =2

(iii) (डी) सही है।

औचित्य:

हम जानते हैं कि,

सेक ए = 1/कॉस ए

टैन ए = पाप ए / कॉस ए

अब, दी गई समस्या में उपरोक्त मानों को प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है

(secA + tanA) (1 - sinA)

= (1/cos A + sin A/cos A) (1 - sinA)

= (1+sin A/cos A) (1 - sinA)

= (1 - sin 2 A)/cos A

= cos 2 A/cos A = cos A

इसलिए, (secA + tanA) (1 - sinA) = cos A

(iv) (डी) सही है।

औचित्य:

हम जानते हैं कि,

तन 2 ए = 1/खाट 2 ए

अब, दी गई समस्या में इसे प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है

1+तन 2 ए/1+खाट 2 ए

= (1+1/खाट 2 ए)/1+खाट 2 ए

= (खाट 2 ए+1/खाट 2 ए)×(1/1+खाट 2 ए)

= 1/खाट 2 ए = तन 2 ए

तो, 1+tan 2 A/1+cot 2 A = tan 2 A

5. निम्नलिखित सर्वसमिकाओं को सिद्ध कीजिए, जिनमें शामिल कोण न्यून कोण हैं जिनके लिए
व्यंजक परिभाषित किए गए हैं।

(i) (cosec - cot θ) 2  = (1-cos θ)/(1+cos )

(ii) cos A/(1+sin A) + (1+sin A)/cos A = 2 sec A

(iii) tan θ/(1-cot θ) + cot θ/(1-tan θ) = 1 + sec θ cosec

     [संकेत : इस व्यंजक को sin और cos के पदों में लिखिए।]

(iv) (1 + सेकंड ए)/सेकंड ए = पाप 2 ए/(1-cos ए)  

     [संकेत: एलएचएस और आरएचएस को अलग-अलग सरल बनाएं]

(v) (cos A–sin A+1)/(cos A +sin A–1) = cosec A + cot A, सर्वसमिका cosec 2 A = 1+cot 2 A का प्रयोग करते हुए।

(vii) (sin – 2sin 3 )/(2cos 3 θ-cos ) = tan θ
(viii) (sin A + cosec A) 2  + (cos A + sec A) 2  = 7+tan 2 A+ cot 2 A
(ix) (cosec A - sin A)(sec A - cos A) = 1/(tan A+cotA)
[संकेत : LHS और RHS को अलग-अलग सरलीकृत करें]
(x) (1+tan 2 A/1+ cot 2 A) = (1-tan A/1-cot A) 2  =  tan 2 A

समाधान:

(i) (cosec - cot θ) 2  = (1-cos θ)/(1+cos )

इसे सिद्ध करने के लिए, पहले दिए गए समीकरण के बाएँ हाथ (LHS) को लें, दाएँ हाथ की ओर (RHS) को सिद्ध करने के लिए।

एलएचएस = (कोसेक - खाट θ) 2

उपरोक्त समीकरण (ab) 2 के रूप में है , और इसका विस्तार करें

चूँकि (ab) 2 = a 2 + b 2 - 2ab

यहाँ a = cosec और b = cot

= (cosec 2 + cot 2 - 2cosec cot )

अब, सरल बनाने के लिए संबंधित प्रतिलोम फलन और समतुल्य अनुपात लागू करें

= (1/sin 2 + cos 2 /sin 2 θ – 2cos /sin 2 )

= (1 + cos 2 – 2cos )/(1 – cos 2 )

= (1-cos ) 2 /(1 - cosθ)(1+cos )

= (1-cos )/(1+cos θ) = RHS

इसलिए, (cosec θ - cot θ) 2  = (1-cos θ)/(1+cos )

इसलिए साबित हुआ।

(ii) (cos A/(1+sin A)) + ((1+sin A)/cos A) = 2 सेकंड A

अब दिए गए समीकरण का LHS लीजिए।

एलएचएस = (cos A/(1+sin A)) + ((1+sin A)/cos A)

= [cos 2 A + (1+sin A) 2 ]/(1+sin A)cos A

= (cos 2 A + sin 2 A + 1 + 2sin A)/(1+sin A) cos A

चूँकि cos 2 A + sin 2 A = 1, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

= (1 + 1 + 2sin A)/(1+sin A) cos A

= (2+ 2sin A)/(1+sin A)cos A

= 2(1+sin A)/(1+sin A)cos A

= 2/cos A = 2 सेकंड A = RHS

एलएचएस = आरएचएस

(cos A/(1+sin A)) + ((1+sin A)/cos A) = 2 सेकंड A

इसलिए साबित हुआ।

(iii) tan θ/(1-cot θ) + cot θ/(1-tan θ) = 1 + sec θ cosec

एलएचएस = तन /(1-खाट θ) + खाट θ/(1-तन θ)

हम जानते हैं कि tan θ =sin /cos

खाट = क्योंकि /पाप

अब, इसे सरलीकृत रूप में बदलने के लिए, दिए गए समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करें

= [(sin /cos )/1-(cos θ/sin θ)] + [(cos θ/sin θ)/1-(sin θ/cos θ)]

= [(sin /cos )/(sin θ-cos θ)/sin θ] + [(cos θ/sin θ)/(cos -sin θ)/cos θ]

= sin 2 /[cos (sin θ-cos θ)] + cos 2 θ/[sin (cos -sin θ)]

= sin 2 /[cos (sin θ-cos θ)] - cos 2 /[sin θ(sin -cos θ)]

= 1/(sin -cos θ) [(sin 2 /cos ) - (cos 2 θ/sin θ)]

= 1/(sin -cos ) × [(sin 3 - cos 3 )/sin cos ]

= [(sin -cos )(sin 2 θ+cos 2 θ+sin cos θ)]/[(sin -cos θ)sin cos θ]

= (1 + sin cos )/sin θ cos

= 1/पाप θ क्योंकि θ + 1

= 1 + सेकंड cosec = RHS

इसलिए, एलएचएस = आरएचएस

इसलिए साबित हुआ

(iv) (1 + सेकंड ए)/सेकंड ए = पाप 2 ए/(1-cos ए)

पहले एलएचएस का सरलीकृत रूप खोजें

एलएचएस = (1 + सेकंड ए)/सेकंड ए

चूँकि secant फलन cos फलन का प्रतिलोम फलन है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है

= (1 + 1/cos A)/1/cos A

= (cos A + 1)/cos A/1/cos A

इसलिए, (1 + सेकंड ए)/सेकंड ए = कॉस ए + 1

RHS = sin 2 A/(1-cos A)

हम जानते हैं कि sin 2 A = (1 – cos 2 A), हमें प्राप्त होता है

= (1 - cos 2 A)/(1-cos A)

= (1-cos A)(1+cos A)/(1-cos A)

इसलिए, sin 2 A/(1-cos A)= cos A + 1

एलएचएस = आरएचएस

इसलिए साबित हुआ

(v) (cos A–sin A+1)/(cos A+sin A–1) = cosec A + cot A, सर्वसमिका cosec 2 A = 1+cot 2 A का प्रयोग करते हुए।

सर्वसमिका फलन, cosec 2 A = 1+cot 2 A की सहायता से, आइए हम उपरोक्त समीकरण को सिद्ध करें।

LHS = (cos A–sin A+1)/(cos A+sin A–1)

अंश और हर को पाप ए से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

= (cos A–sin A+1)/sin A/(cos A+sin A–1)/sin A

हम जानते हैं कि cos A/sin A = cot A और 1/sin A = cosec A

= (खाट ए - 1 + कोसेक ए)/(खाट ए+ 1 - कोसेक ए)

= (खाट ए - कोसेक 2 ए + खाट 2 ए + कोसेक ए)/(खाट ए+ 1 - कोसेक ए) (कोसेक 2 ए - खाट 2 ए = 1 का प्रयोग करके)

= [(खाट ए + कोसेक ए) - (कोसेक 2 ए - खाट 2 ए)]/(खाट ए+ 1 - कोसेक ए)

= [(cot A + cosec A) - (cosec A + cot A)(cosec A - cot A)]/(1 - cosec A + cot A)

= (खाट ए + कोसेक ए)(1 - कोसेक ए + खाट ए)/(1 - कोसेक ए + खाट ए)

= खाट A + cosec A = RHS

इसलिए, (cos A–sin A+1)/(cos A+sin A–1) = cosec A + cot A

इसलिए सिद्ध

0

पहले LHS के अंश और हर को cos A से भाग दें,

हम जानते हैं कि 1/cos A = sec A और sin A/cos A = tan A और यह बन जाता है,

= √(सेकंड ए+ टैन ए)/(सेकंड ए-टैन ए)

अब युक्तिकरण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

= (सेकंड ए + टैन ए)/1

= सेकंड ए + तन ए = आरएचएस

इसलिए साबित हुआ

(vii) (sin θ – 2sin 3 )/(2cos 3 θ-cos ) = tan

LHS = (sin – 2sin 3 )/(2cos 3 θ – cos )

पाप को अंश के रूप में और cos को हर में बाहर के रूप में लें, यह बन जाता है

= [पाप (1 – 2पाप 2 )]/[cos (2cos 2 - 1)]

हम जानते हैं कि sin 2 = 1-cos 2

= पाप θ[1 - 2(1-cos 2 θ)]/[cos θ(2cos 2 θ -1)]

= [पाप (2cos 2 -1)]/[cos (2cos 2 θ -1)]

= तन = आरएचएस

इसलिए साबित हुआ

(viii) (sin A + cosec A) 2  + (cos A + sec A) 2  = 7+tan 2 A+cot 2 A

LHS = (sin A + cosec A) 2  + (cos A + sec A) 2

यह (a+b) 2 के रूप का है, इसे विस्तृत करें

(ए+बी) 2 =ए 2 + बी 2 +2ab

= (sin 2 A + cosec 2 A + 2 sin A cosec A) + (cos 2 A + sec 2 A + 2 cos A sec A)

= (sin 2 A + cos 2 A) + 2 sin A(1/sin A) + 2 cos A(1/cos A) + 1 + tan 2 A + 1 + cot 2 A

= 1 + 2 + 2 + 2 + तन 2 ए + खाट 2 ए

= 7+तन 2 ए+खाट 2 ए = आरएचएस

इसलिए, (sin A + cosec A) 2  + (cos A + sec A) 2  = 7+tan 2 A+cot 2 A

इसलिए साबित हुआ।

(ix) (cosec A – sin A)(sec A – cos A) = 1/(tan A+cotA)

सबसे पहले, एलएचएस का सरलीकृत रूप खोजें

एलएचएस = (कोसेक ए - पाप ए) (सेकंड ए - कॉस ए)

अब, प्रतिलोम और समतुल्य त्रिकोणमितीय अनुपात रूपों को प्रतिस्थापित करें

= (1/पाप ए - पाप ए) (1/कोस ए - कॉस ए)

= [(1-पाप 2 ए)/पाप ए][(1-कोस 2 ए)/कॉस ए]

= (cos 2 A/sin A)×(sin 2 A/cos A)

= क्योंकि एक पाप ए

अब, RHS को सरल कीजिए

आरएचएस = 1/(तन ए + कोटा)

= 1/(sin A/cos A +cos A/sin A)

= 1/[(sin 2 A+cos 2 A)/sin A cos A]

= क्योंकि एक पाप ए

एलएचएस = आरएचएस

(cosec A - sin A)(sec A - cos A) = 1/(tan A+cotA)

इसलिए साबित हुआ

(x) (1+tan 2 A/1+cot 2 A) = (1-tan A/1-cot A) 2  =  tan 2 A

एलएचएस = (1+तन 2 ए/1+खाट 2 ए)

चूँकि cot फलन tan फलन का विलोम है,

= (1+तन 2 ए/1+1/तन 2 ए)

= 1+तन 2 ए/[(1+तन 2 ए)/तन 2 ए]

अब 1+tan 2 A पदों को रद्द करें, हमें प्राप्त होता है

= तन 2 ए

(1+tan 2 A/1+cot 2 A) = tan 2 A

इसी तरह,

(1-तन ए/1-कोट ए) 2  =  तन 2 ए

इसलिए साबित हुआ