NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

कक्षा 10 गणित अध्याय 9 के लिए एनसीईआरटी समाधान 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग एनसीईआरटी  पाठ्यपुस्तक में सभी प्रश्नों के व्यापक समाधान प्रदान करते हैं । सीबीएसई के दूसरे सत्र की परीक्षाओं में उत्कृष्टता हासिल करने के लिए, एनसीईआरटी सॉल्यूशंस छात्रों के बीच आत्मविश्वास के स्तर को बढ़ाएगा, क्योंकि अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझाया और संरचित किया गया है। समाधान हमारे विषय विशेषज्ञों द्वारा तैयार और समीक्षा की जाती है और उन्हें नवीनतम सीबीएसई पाठ्यक्रम 2022-23 और सीबीएसई बोर्ड के दिशानिर्देशों के अनुसार संशोधित किया जाता है।

यह सभी अध्यायों को शामिल करता है और अध्याय-वार समाधान प्रदान करता है। कक्षा 10 गणित के लिए ये एनसीईआरटी समाधान  छात्रों के लिए उनकी शंकाओं को स्पष्ट करने और हर अवधारणा के लिए एक मजबूत आधार प्रदान करने में मददगार हैं। NCERT Solutions for Class 10 की मदद से , प्रत्येक छात्र को प्रत्येक अभ्यास में जटिल समस्या को हल करने में सक्षम होना चाहिए।

एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 9 तक पहुंच उत्तर - त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

Exercise - 9.1 पृष्ठ संख्या: 203

1. एक सर्कस कलाकार एक 20 मीटर लंबी रस्सी पर चढ़ रहा है, जो कसकर फैला हुआ है और एक ऊर्ध्वाधर पोल के शीर्ष से जमीन पर बंधा हुआ है। खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, यदि रस्सी द्वारा जमीनी स्तर से बनाया गया कोण 30° है। (अंजीर देखें। 9.11)

समाधान:

रस्सी की लंबाई 20 मीटर है और रस्सी द्वारा जमीनी स्तर से बनाया गया कोण 30° है।

दिया गया है: AC = 20 मीटर और कोण C = 30°

खोजने के लिए : ध्रुव की ऊंचाई

मान लीजिए AB ऊर्ध्वाधर ध्रुव है

दाएँ ABC में, ज्या सूत्र का प्रयोग करते हुए

पाप 30° = AB/AC

sin 30 अंश का मान ½ है, हमारे पास है

1/2 = एबी/20

एबी = 20/2

एबी = 10

अत: खम्भे की ऊँचाई 10 m है।

2. तूफान के कारण एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ हिस्सा झुक जाता है जिससे पेड़ का शीर्ष जमीन को छूता है और इससे 30° का कोण बनता है। पेड़ के पाद से उस बिंदु तक की दूरी जहां शीर्ष जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की ऊंचाई पाएं।

समाधान:

दिए गए निर्देशों का प्रयोग करते हुए एक आकृति बनाएं। मान लीजिए एसी पेड़ का टूटा हुआ हिस्सा है। कोण C = 30°

ईसा पूर्व = 8 वर्ग मीटर

ढूँढना: पेड़ की ऊँचाई, जो कि AB . है

चित्र से: पेड़ की कुल ऊंचाई AB और AC का योग है अर्थात AB+AC

दायीं ओर ABC में,

कोसाइन और स्पर्शरेखा कोणों का उपयोग करते हुए,

cos 30° = BC/AC

हम जानते हैं कि, cos 30° = 3/2

√3/2 = 8/एसी

एसी = 16/√3 …(1)

भी,

तन 30° = AB/BC

1/√3 = एबी/8

एबी = 8/√3 ….(2)

इसलिए, पेड़ की कुल ऊंचाई = AB + AC = 16/√3 + 8/√3 = 24/√3 = 8√3 मीटर।

3. एक ठेकेदार एक पार्क में बच्चों के खेलने के लिए दो स्लाइड लगाने की योजना बना रहा है। 5 साल से कम उम्र के बच्चों के लिए, वह एक स्लाइड रखना पसंद करती है, जिसका शीर्ष 1.5 मीटर की ऊंचाई पर है, और जमीन से 30 डिग्री के कोण पर झुका हुआ है, जबकि बड़े बच्चों के लिए, वह एक ढलान रखना चाहती है। 3 मीटर की ऊंचाई पर स्लाइड करें, और जमीन पर 60 डिग्री के कोण पर झुका हुआ है। प्रत्येक स्थिति में स्लाइड की लंबाई कितनी होनी चाहिए?

समाधान :

ठेकेदार की योजना के अनुसार, 

माना, ABC लंबाई AC के साथ 30° पर झुकी हुई स्लाइड है और PQR स्लाइड पर झुकी हुई है

लंबाई पीआर के साथ 60 डिग्री।

खोजने के लिए: एसी और पीआर

दायीं ओर ABC में,

पाप 30° = AB/AC

1/2 = 1.5/एसी

एसी = 3

भी,

दायीं ओर PQR में,

पाप 60° = PQ/PR

3/2 = 3/पीआर

पीआर = 2√3

इसलिए, नीचे की स्लाइड की लंबाई 5 = 3 मीटर और

बड़े बच्चों के लिए स्लाइड की लंबाई = 2√3 m

4. एक मीनार के शिखर का भूमि पर एक बिंदु से, जो मीनार के पाद से 30 मी दूर है, उन्नयन कोण 30° है। टावर की ऊंचाई पाएं।

समाधान:

मान लीजिए AB मीनार की ऊँचाई है और C बिंदु ऊँचाई है जो मीनार के पाद से 30 मीटर दूर है।

खोजने के लिए: एबी (टॉवर की ऊंचाई)

सही ABC . में

तन 30° = AB/BC

1/√3 = एबी/30

⇒ एबी = 10√3

अत: मीनार की ऊँचाई 10√3 m है।

5. एक पतंग जमीन से 60 मीटर की ऊंचाई पर उड़ रही है। पतंग से जुड़ी रस्सी अस्थायी रूप से जमीन पर एक बिंदु से बंधी होती है। जमीन के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानते हुए कि डोरी में कोई स्लैक नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिए गए निर्देश के आधार पर एक आकृति बनाएं,

माना BC = पतंग की जमीन से ऊँचाई, BC = 60 m

एसी = जमीन से रस्सी की झुकी हुई लंबाई और

A वह बिंदु है जहाँ पतंग की डोरी बाँधी जाती है।

खोजने के लिए: जमीन से स्ट्रिंग की लंबाई यानी AC . का मान

उपरोक्त आकृति से,

पाप 60° = BC/AC

3/2 = 60/एसी

एसी = 40√3 वर्ग मीटर

इस प्रकार, जमीन से डोरी की लंबाई 40√3 मीटर है।

6. एक 1.5 मीटर लंबा लड़का 30 मीटर ऊंची इमारत से कुछ दूरी पर खड़ा है। जैसे-जैसे वह भवन की ओर बढ़ता है, उसकी आँखों से भवन के शिखर तक का उन्नयन कोण 30° से 60° तक बढ़ जाता है। वह दूरी ज्ञात कीजिए जो वह इमारत की ओर चला।

समाधान:

मान लीजिए कि लड़का शुरू में बिंदु Y पर 30° झुकाव के साथ खड़ा है और फिर वह 60° झुकाव के साथ बिंदु X पर पहुंच जाता है।

खोजने के लिए: दूरी का लड़का इमारत की ओर चला गया अर्थात XY

आकृति से,

एक्सवाई = सीडी।

भवन की ऊँचाई = AZ = 30 मी.

AB = AZ - BZ = 30 - 1.5 = 28.5

AB का माप 28.5 m . है

दाएं ABD में,

तन 30° = AB/BD

1/√3 = 28.5/बीडी

बीडी = 28.5√3 एम

फिर से,

दायीं ओर ABC में,

तन 60° = AB/BC

3 = 28.5/बीसी

बीसी = 28.5/√3 = 28.5√3/3

इसलिए, BC की लंबाई 28.5√3/3 मीटर है।

XY = सीडी = बीडी - बीसी = (28.5√3-28.5√3/3) = 28.5√3(1-1/3) = 28.5√3 × 2/3 = 57/√3 = 19√3 मीटर।

इस प्रकार, लड़के द्वारा इमारत की ओर चलने की दूरी 19√3 मीटर है।

7. जमीन पर एक बिंदु से, नीचे और ऊपर के उन्नयन के कोण a

एक 20 मीटर ऊंचे भवन के शीर्ष पर स्थित ट्रांसमिशन टावर क्रमशः 45° और 60° हैं। टावर की ऊंचाई पाएं।

समाधान:

माना BC 20 मीटर ऊंचा भवन है।

डी जमीन पर वह बिंदु है जहां से ऊंचाई ली जाती है।

ट्रांसमिशन टावर की ऊंचाई = एबी = एसी - बीसी

खोजने के लिए: एबी, टावर की ऊंचाई

आकृति से, दाएं BCD में,

तन 45° = BC/CD

1 = 20/सीडी

सीडी = 20

फिर से,

दाएँ ACD में,

तन 60° = एसी/सीडी

√3 = एसी/20

एसी = 20√3

अब, AB = AC - BC = (20√3-20) = 20(√3-1)

ट्रांसमिशन टावर की ऊंचाई = 20(√3 - 1) मीटर।

8. 1.6 मीटर ऊंची एक मूर्ति एक आसन के शीर्ष पर खड़ी है। जमीन पर एक बिंदु से, मूर्ति के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से आसन के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। आसन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लीजिए AB मूर्ति की ऊंचाई है।

डी जमीन पर वह बिंदु है जहां से ऊंचाई ली जाती है।

ढूँढना: कुरसी की ऊँचाई = BC = AC-AB

आकृति से,

समकोण त्रिभुज बीसीडी में,

तन 45° = BC/CD

1 = बीसी/सीडी

बीसी = सीडी …..(1)

 

फिर से,

दाएँ ACD में,

तन 60° = एसी/एडी

3 = (एबी+बीसी)/सीडी

√3CD = 1.6 + BC

√3BC = 1.6 + BC (समीकरण (1) का प्रयोग करके

√3BC - BC = 1.6

ईसा पूर्व (√3-1) = 1.6

ईसा पूर्व = [(1.6)(√3+1)]/[(√3-1)(√3+1)]

बीसी = [1.6(√3+1)]/(2) एम

ईसा पूर्व = 0.8(√3+1)

इस प्रकार, आसन की ऊंचाई 0.8(√3+1) मीटर है।

9. एक इमारत के शिखर का मीनार के पाद से उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मीटर ऊँची है, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

माना टावर की ऊंचाई CD है। AB भवन की ऊँचाई हो। ई.पू. भवन के पाद और मीनार के बीच की दूरी हो। मीनार और भवन से क्रमशः ऊँचाई 30 डिग्री और 60 डिग्री है।

दाएं BCD में,

टैन 60° = सीडी/बीसी

√3 = 50/बीसी

ईसा पूर्व = 50/√3 …(1)

फिर से,

दायीं ओर ABC में,

तन 30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = एबी/बीसी

समीकरण (1) में प्राप्त परिणाम का प्रयोग करें

एबी = 50/3

इस प्रकार, भवन की ऊंचाई 50/3 मीटर है।

10. 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर समान ऊँचाई के दो खम्भे एक-दूसरे के सामने खड़े हैं। सड़क पर उनके बीच एक बिंदु से, खंभों के शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खंभों की ऊंचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लीजिए AB और CD समान ऊँचाई के ध्रुव हैं।

O उनके बीच का वह बिंदु है जहाँ से ऊँचाई की ऊँचाई ली गई है। BD ध्रुवों के बीच की दूरी है।

उपरोक्त आकृति के अनुसार, AB = CD,

ओबी + ओडी = 80 एम

अभी,

दाएँ CDO में,

टैन 30° = सीडी/ओडी

1/√3 = सीडी/ओडी

सीडी = ओडी/√3 … (1)

फिर से,

दायीं ओर ABO,

तन 60° = AB/OB

√3 = एबी/(80-ओडी)

एबी = √3 (80-ओडी)

एबी = सीडी (दिया गया)

√3(80-ओडी) = ओडी/√3 (समीकरण (1) का प्रयोग करके)

3(80-ओडी) = ओडी

240 - 3 ओडी = ओडी

4 ओडी = 240

ओडी = 60

OD का मान समीकरण में रखने पर (1)

सीडी = ओडी/√3

सीडी = 60/√3

सीडी = 20√3 वर्ग मीटर

भी,

ओबी + ओडी = 80 एम

ओबी = (80-60) मी = 20 मी

इस प्रकार, खंभों की ऊंचाई 20√3 मीटर है और ऊंचाई बिंदु से दूरी 20 मीटर है और

क्रमशः 60 मी.

11. एक नहर के किनारे पर एक टीवी टावर लंबवत खड़ा है। टावर के ठीक सामने दूसरे किनारे के एक बिंदु से, टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। इस बिंदु से 20 मीटर दूर इस बिंदु से मीनार के पाद को मिलाने वाली रेखा पर, मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है (देखिए आकृति 9.12)। मीनार की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल : दिया गया है, AB मीनार की ऊँचाई है।

डीसी = 20 मीटर (दिया गया)

दिए गए आरेख के अनुसार, दाएं ABD में,

तन 30° = AB/BD

1/√3 = एबी/(20+बीसी)

एबी = (20+बीसी)/√3 … (i)

फिर से,

दायीं ओर ABC में,

तन 60° = AB/BC

3 = एबी/बीसी

एबी = √3 ईसा पूर्व … (ii)

समीकरण (i) और (ii) से

√3 ईसा पूर्व = (20+बीसी)/√3

3 ईसा पूर्व = 20 + ईसा पूर्व

2 ईसा पूर्व = 20

ईसा पूर्व = 10

BC का मान समीकरण में रखने पर (ii)

एबी = 10√3

इसका तात्पर्य यह है कि मीनार की ऊँचाई 10√3 मीटर और नहर की चौड़ाई 10 मीटर है।

12. एक 7 मीटर ऊंचे भवन के शीर्ष से, एक केबल टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है और उसके पैर का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊंचाई निर्धारित करें।

समाधान :

मान लीजिए AB 7 मीटर की ऊँचाई वाला भवन है और EC मीनार की ऊँचाई है।

A वह बिंदु है जहाँ से मीनार की ऊँचाई 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है।

ईसी = डीई + सीडी

साथ ही, CD = AB = 7 मी. और बीसी = एडी

खोजने के लिए: ईसी = टावर की ऊंचाई

दिए गए निर्देशों के आधार पर एक आकृति बनाएं:

दायीं ओर ABC में,

तन 45° = AB/BC

1= 7/बीसी

ईसा पूर्व = 7

चूँकि BC = AD

अत: AD = 7

फिर से, समकोण त्रिभुज ADE से,

तन 60° = DE/AD

3 = डीई/7

DE = 7√3 m

अब: ईसी = डीई + सीडी

= (7√3 + 7) = 7(√3+1)

अतः मीनार की ऊँचाई 7(√3+1) मीटर है। उत्तर!

13. जैसा कि समुद्र तल से 75 मीटर ऊंचे प्रकाशस्तंभ के शीर्ष से देखा गया है, दो जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि एक जहाज प्रकाशस्तंभ के एक ही तरफ दूसरे के ठीक पीछे है, तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लीजिए AB 75 मीटर ऊंचाई का लाइटहाउस है। माना C और D जहाजों की स्थिति है।

30° और 45° प्रकाशस्तंभ से अवनमन कोण हैं।

दिए गए निर्देशों के आधार पर एक आकृति बनाएं:

खोजने के लिए: सीडी = दो जहाजों के बीच की दूरी

चरण 1: समकोण त्रिभुज ABC से,

तन 45° = AB/BC

1= 75/बीसी

ईसा पूर्व = 75 वर्ग मीटर

चरण 2: समकोण त्रिभुज ABD बनाएं,

तन 30° = AB/BD

1/√3 = 75/बीडी

बीडी = 75√3

चरण 3: सीडी का माप ज्ञात करने के लिए चरण 1 और चरण 2 में प्राप्त परिणामों का उपयोग करें।

सीडी = बीडी - बीसी = (75√3 - 75) = 75 (√3-1)

दोनों जहाजों के बीच की दूरी 75(√3-1) मीटर है। उत्तर!

14. एक 1.2 मीटर लंबी लड़की जमीन से 88.2 मीटर की ऊंचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा के साथ चलते हुए एक गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँखों से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° होता है। कुछ समय बाद, उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है (देखिए आकृति 9.13)। अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान:

माना गुब्बारे की प्रारंभिक स्थिति A है और अंतिम स्थिति B है।

लड़की की ऊंचाई से गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 मीटर - 1.2 मीटर = 87 मीटर।

खोजने के लिए: गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी = DE = CE - CD

आइए हम दी गई आकृति को अपनी सुविधा के अनुसार नया स्वरूप दें

चरण 1: दाएं BEC में,

तन 30° = बीई/सीई

1/√3= 87/सीई

सीई = 87√3

चरण दो:

दाएँ ADC में,

तन 60° = AD/CD

3= 87/सीडी

सीडी = 87/√3 = 29√3

चरण 3:

डीई = सीई - सीडी = (87√3 - 29√3) = 29√3 (3 - 1) = 58√3

गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी = 58√3 मी.

15. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शीर्ष पर खड़ा एक व्यक्ति एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है, जो एक समान गति से मीनार के पाद की ओर आ रही है। छह सेकंड बाद, कार का अवनमन कोण 60° पाया जाता है। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

समाधान:

माना AB मीनार है।

डी प्रारंभिक है और सी क्रमशः कार की अंतिम स्थिति है।

चूँकि मनुष्य मीनार के शीर्ष पर खड़ा है, इसलिए अवनमन कोणों को A से मापा जाता है।

BC टावर के पाद से कार तक की दूरी है।

चरण 1: दाएं ABC में,

तन 60° = AB/BC

3 = एबी/बीसी

बीसी = एबी/√3

एबी = √3 बीसी

चरण दो:

दाएं ABD में,

तन 30° = AB/BD

1/√3 = एबी/बीडी

एबी = बीडी/√3

चरण 3: फॉर्म चरण 1 और चरण 2, हमारे पास है

√3 BC = BD/√3 (चूंकि LHS समान हैं, इसलिए RHS भी समान हैं)

3 ईसा पूर्व = बीडी

3 ईसा पूर्व = ईसा पूर्व + सीडी

2BC = सीडी

या बीसी = सीडी/2

यहाँ, BC की दूरी CD की आधी है। इस प्रकार लिया गया समय भी आधा है।

सीडी की दूरी तय करने में कार द्वारा लिया गया समय = 6 सेकंड। कार द्वारा BC की यात्रा करने में लिया गया समय = 6/2 = 3 सेकंड।

16. मीनार के आधार से 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर दो बिंदुओं से एक मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण और इसके साथ एक ही सीधी रेखा में पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।

समाधान:

माना AB मीनार है। C और D दो बिंदु हैं जिनकी दूरी क्रमशः आधार से 4 मीटर और 9 मीटर है। प्रश्न के अनुसार,

दायीं ओर ABC में,

तन एक्स = एबी/बीसी

तन एक्स = एबी/4

एबी = 4 तन x ... (i)

पुनः, दायीं ओर से ABD,

तन (90°-x) = AB/BD

खाट x = AB/9

AB = 9 खाट x … (ii)

समीकरण (i) और (ii) को गुणा करना

AB 2 = 9 खाट x × 4 तन x

AB 2 = 36 (क्योंकि खाट x = 1/tan x

एबी = ± 6

चूँकि ऊँचाई ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः मीनार की ऊँचाई 6 m है।

इसलिए सिद्ध।