NCERT Solutions For Class 10 Math Chapter 12 वृत्त से संबंधित क्षेत्र

कक्षा 10 गणित अध्याय 12 के लिए एनसीईआरटी समाधान

कक्षा 10 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान अध्याय 12 मंडलियों से संबंधित क्षेत्र कक्षा 10 में छात्रों के लिए आवश्यक एक महत्वपूर्ण अध्ययन संसाधन है।  कक्षा 10 गणित के लिए ये एनसीईआरटी समाधान छात्रों को सीबीएसई कक्षा 10 में पूछे जाने वाले प्रश्नों के प्रकारों को समझने में मदद करते हैं। मैथ्स फर्स्ट टर्म की परीक्षा। इसके अलावा, मंडलियों से संबंधित सभी क्षेत्रों के समाधान प्रदान करने से छात्रों को टर्म I परीक्षा की तैयारी प्रभावी तरीके से करने में मदद मिलती है।

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प्रवेश गणित एनसीईआरटी कक्षा 10 अध्याय 12 - मंडलियों से संबंधित क्षेत्र

Exercise: 12.1 (पृष्ठ संख्या: 230)

1. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 सेमी और 9 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।

समाधान:

पहले वृत्त की त्रिज्या = 19 सेमी (दिया गया)

∴ पहले वृत्त की परिधि = 2π×19 = 38π सेमी

दूसरे वृत्त की त्रिज्या = 9 सेमी (दिया गया है)

दूसरे वृत्त की परिधि = 2π×9 = 18π सेमी

इसलिए,

दो वृत्तों की परिधि का योग = 38π+18π = 56π सेमी

अब, माना तीसरे वृत्त की त्रिज्या = R

तीसरे वृत्त की परिधि = 2πR

यह दिया गया है कि दो वृत्तों की परिधि का योग = तीसरे वृत्त की परिधि

अत: 56π = 2πR

या, आर = 28 सेमी।

2. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं। दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहले वृत्त की त्रिज्या = 8 सेमी (दिया गया)

पहले वृत्त का क्षेत्रफल = π(8) 2 = 64π

दूसरे वृत्त की त्रिज्या = 6 सेमी (दिया गया)

दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल = (6) 2 = 36π

इसलिए,

पहले और दूसरे सर्कल का योग होगा = 64π+36π = 100π

अब, मान लीजिए कि तीसरे वृत्त की त्रिज्या = R

वृत्त के तीसरे वृत्त का क्षेत्रफल = R 2

यह दिया गया है कि वृत्त के तीसरे वृत्त का क्षेत्रफल = पहले वृत्त का क्षेत्रफल + दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल

या, R 2 = 100πcm 2

आर 2 = 100 सेमी 2

तो, आर = 10 सेमी

3. चित्र 12.3 एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाता है जो केंद्र से बाहर की ओर पांच स्कोरिंग क्षेत्रों के साथ चिह्नित है, जैसे सोना, लाल, नीला, काला और सफेद। गोल्ड स्कोर का प्रतिनिधित्व करने वाले क्षेत्र का व्यास 21 सेमी है और अन्य बैंड में से प्रत्येक 10.5 सेमी चौड़ा है। पाँच स्कोरिंग क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

1 वृत्त की त्रिज्या , r 1 = 21/2 सेमी (व्यास D को 21 सेमी के रूप में दिया गया है)

तो, स्वर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल = r 1 2 = (10.5) 2 = 346.5 सेमी 2

अब, यह दिया गया है कि अन्य बैंडों में से प्रत्येक 10.5 सेमी चौड़ा है,

तो, दूसरे वृत्त की त्रिज्या , r 2 = 10.5cm+10.5cm = 21 cm

इस प्रकार,

लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल = दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल - स्वर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल = (πr 2 2 −346.5 ) सेमी 2

= (π(21) 2 - 346.5) सेमी 2

= 1386 - 346.5

= 1039.5 सेमी 2

इसी तरह,

तीसरे वृत्त की त्रिज्या , r 3 = 21 सेमी+10.5 सेमी = 31.5 सेमी

चौथे वृत्त की त्रिज्या , r 4 = 31.5 सेमी +10.5 सेमी = 42 सेमी

5 वें वृत्त की त्रिज्या , r 5 = 42 सेमी+10.5 सेमी = 52.5 सेमी

n वें क्षेत्र के क्षेत्रफल के लिए,

A = वृत्त का क्षेत्रफल n - वृत्त का क्षेत्रफल (n-1)

नीले क्षेत्र का क्षेत्रफल (n=3) = तीसरे वृत्त का क्षेत्रफल – दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल

= (31.5) 2 - 1386 सेमी 2

= 3118.5 - 1386 सेमी 2

= 1732.5 सेमी 2

काले क्षेत्र का क्षेत्रफल (n=4) = चौथे वृत्त का क्षेत्रफल – तीसरे वृत्त का क्षेत्रफल

= (42) 2 - 1386 सेमी 2

= 5544 - 3118.5 सेमी 2

= 2425.5 सेमी 2

श्वेत क्षेत्र का क्षेत्रफल (n=5) = पांचवें वृत्त का क्षेत्रफल – चौथे वृत्त का क्षेत्रफल

= (52.5) ​​2 - 5544 सेमी 2

= 8662.5 - 5544 सेमी 2

= 3118.5 सेमी 2

4. एक कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 सेमी है। जब कार 66 किमी प्रति घंटे की गति से यात्रा कर रही है, तो प्रत्येक पहिया 10 मिनट में कितने पूर्ण चक्कर लगाता है?

समाधान:

कार के पहिये की त्रिज्या = 80/2 = 40 सेमी (जैसे डी = 80 सेमी)

अत: पहियों की परिधि = 2πr = 80 π सेमी

अब, एक चक्कर में तय की गई दूरी = पहिये की परिधि = 80 सेमी

दिया गया है कि कार द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी = 66km

किमी को सेमी में बदलने पर हमें प्राप्त होता है,

कार द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी = (66×10 5 ) सेमी

10 मिनट में, तय की गई दूरी = (66×10 5 ×10)/60 = 1100000 सेमी/सेकेंड होगी

∴ कार द्वारा तय की गई दूरी = 11×10 5 सेमी

अब, नहीं. पहियों की परिक्रमा = (कार द्वारा तय की गई दूरी/पहिए की परिधि)

=(11×10 5 )/80 = 4375।

5. निम्नलिखित में से सही हल चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए : यदि किसी वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो वृत्त की त्रिज्या है

(ए) 2 इकाइयां

(बी) इकाइयां

(सी) 4 इकाइयां

(डी) 7 इकाइयां

समाधान:

चूँकि वृत्त का परिमाप = वृत्त का क्षेत्रफल,

2πr = πr 2

या, आर = 2

अतः, विकल्प (A) सही है अर्थात वृत्त की त्रिज्या 2 इकाई है।

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Exercise : 12.2 (पृष्ठ संख्या: 230)

1. त्रिज्या 6 सेमी वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि त्रिज्यखंड का कोण 60° है।

समाधान:

यह दिया गया है कि त्रिज्यखंड का कोण 60° . है

हम जानते हैं कि त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)×πr 2

60° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (60°/360°)×πr 2 सेमी 2

= (36/6)π सेमी 2

= 6×22/7 सेमी 2 = 132/7 सेमी 2

2. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 सेमी है।

समाधान:

वृत्त की परिधि, C = 22 सेमी (दिया गया है)

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक वृत्त का चतुर्थांश एक त्रिज्यखंड है जो 90° का कोण बना रहा है।

माना वृत्त की त्रिज्या = r

सी = 2πr = 22 के रूप में,

आर = 22/2π सेमी = 7/2 सेमी

चतुर्थांश का क्षेत्रफल = (θ/360°) × r 2

यहाँ, = 90°

अत: A = (90°/360°) × r 2 सेमी 2

= (49/16) सेमी 2

= 77/8 सेमी 2 = 9.6 सेमी 2

3. एक घड़ी की मिनट की सूई की लंबाई 14 सेमी है। 5 मिनट में मिनट की सूई से बहने वाला क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मिनट की सुई की लंबाई = घड़ी की त्रिज्या (वृत्त)

वृत्त की त्रिज्या (r) = 14 सेमी (दिया गया)

60 मिनट में मिनट की सुई से घुमाया गया कोण = 360°

अतः, मिनट की सुई द्वारा 5 मिनट में घुमाया गया कोण = 360° × 5/60 = 30°

हम जानते है,

एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × r 2

अब, 30° का कोण बनाने वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (30°/360°) × r 2 cm 2

= (1/12) × 14 2

= (49/3)×(22/7) सेमी 2

= 154/3 ​​सेमी 2

4. 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। संबंधित का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

(i) लघु खंड

(ii) प्रमुख क्षेत्र। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

समाधान:

यहाँ AB वह जीवा है जो केंद्र O पर 90° का कोण अंतरित कर रही है।

दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या (r) = 10 cm

(i) लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (90/360°)×πr 2

= (¼)×(22/7)×10 2

या, लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 78.5 सेमी 2

साथ ही, ΔAOB का क्षेत्रफल = ½×OB×OA

यहाँ, OB और OA वृत्त की त्रिज्याएँ हैं अर्थात = 10 cm

अत: AOB का क्षेत्रफल = ½×10×10

= 50 सेमी 2

अब, लघु खंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – AOB . का क्षेत्रफल

= 78.5 - 50

= 28.5 सेमी 2

(ii) बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= (3.14×10 2 )-78.5

= 235.5 सेमी 2

5. 21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। पाना:

(i) चाप की लंबाई

(ii) चाप . द्वारा निर्मित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

(iii) संगत जीवा से बने खंड का क्षेत्रफल

समाधान:

दिया गया,

त्रिज्या = 21 सेमी

= 60°

(i) चाप की लंबाई = θ/360°×परिधि (2πr)

चाप AB की लंबाई = (60°/360°)×2×(22/7)×21

= (1/6)×2×(22/7)×21

या चाप AB की लंबाई = 22cm

(ii) दिया गया है कि चाप द्वारा अंतरित कोण = 60°

अतः, 60° का कोण बनाने वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (60°/360°)×π r 2 cm 2

= 441/6×22/7 सेमी 2

या, चाप APB द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 231 cm 2 . है

(iii) खंड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल - OAB का क्षेत्रफल

चूँकि त्रिभुज की दोनों भुजाएँ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं और इस प्रकार बराबर हैं, और एक कोण 60° है, OAB एक समबाहु त्रिभुज है। तो, इसका क्षेत्रफल √3/4×a 2 वर्ग इकाई होगा।

खंड APB का क्षेत्रफल = 231-(√3/4)×(OA) 2

= 231-(√3/4)×21 2

या, खंड APB का क्षेत्रफल = [231-(441×√3)/4] सेमी 2

6. 15 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। वृत्त के संगत लघु और प्रमुख खण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग करें)

समाधान:

दिया गया,

त्रिज्या = 15 सेमी

= 60°

इसलिए,

त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = (60°/360°)×πr 2 cm 2

= 225/6 (सेमी 2 .)

अब, ΔAOB समबाहु है क्योंकि दो भुजाएँ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं और इसलिए बराबर हैं और एक कोण 60° है

अत: AOB का क्षेत्रफल = (√3/4) ×a 2

या, (√3/4) ×15 2

AOB का क्षेत्रफल = 97.31 सेमी 2

अब, लघु खंड APB का क्षेत्रफल = OAPB का क्षेत्रफल - AOB . का क्षेत्रफल

या, लघु खंड APB का क्षेत्रफल = ((225/6)π - 97.31 सेमी 2 = 20.43 सेमी 2

और,

वृहत खंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - खंड APB . का क्षेत्रफल

या, दीर्घ खंड का क्षेत्रफल = (π×15 2 ) – 20.4 = 686.06 सेमी 2

7. 12 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। वृत्त के संगत खण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग करें)

समाधान:

त्रिज्या, r = 12 सेमी

अब जीवा AB पर एक लम्ब OD खींचिए और यह जीवा AB को समद्विभाजित करेगा।

अत: AD = DB

अब लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)×πr 2

= (120/360)×(22/7)×12 2

= 150.72 सेमी 2

AOB पर विचार करें,

∠ ओएबी = 180°-(90°+60°) = 30°

अब, cos 30° = AD/OA

3/2 = एडी/12

या, AD = 6√3 सेमी

हम जानते हैं कि OD AB को समद्विभाजित करता है। इसलिए,

AB = 2×AD = 12√3 सेमी

अब, sin 30° = OD/OA

या, ½ = ओडी/12

ओडी = 6 सेमी

अत: AOB का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

यहाँ, आधार = AB = 12√3 और

ऊँचाई = आयुध डिपो = 6

अत: ΔAOB का क्षेत्रफल = ½×12√3×6 = 36√3 सेमी = 62.28 सेमी 2

संगत लघु खंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – AOB . का क्षेत्रफल

= 150.72 सेमी 2 - 62.28 सेमी 2 = 88.44 सेमी 2

8. एक घोड़े को 15 मीटर भुजा वाले वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर 5 मीटर लंबी रस्सी के माध्यम से एक खूंटी से बांधा गया है (देखिए आकृति 12.11)। पाना

(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें घोड़ा चर सकता है।

(ii) चराई क्षेत्र में वृद्धि यदि रस्सी 5 मीटर के बजाय 10 मीटर लंबी हो। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

समाधान:

चूंकि घोड़े को एक वर्गाकार मैदान के एक छोर पर बांधा जाता है, वह 5 मीटर त्रिज्या वाले मैदान के केवल एक चौथाई भाग (अर्थात् = 90° वाला त्रिज्यखंड) चरेगा।

यहाँ, रस्सी की लंबाई वृत्त की त्रिज्या होगी अर्थात r = 5 m

यह भी ज्ञात है कि वर्गाकार खेत की भुजा = 15 m

(i) वृत्त का क्षेत्रफल = r 2 = 22/7 × 5 2 = 78.5 m 2

अब, मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा चर सकता है = (वृत्त का क्षेत्रफल) = 78.5/4 = 19.625 m 2

(ii) यदि रस्सी को बढ़ाकर 10 मीटर कर दिया जाए,

वृत्त का क्षेत्रफल होगा = πr 2 =22/7×10 2 = 314 m 2

अब, मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा चर सकता है = (वृत्त का क्षेत्रफल)

= 314/4 = 78.5 मीटर 2

चराई क्षेत्र में वृद्धि = 78.5 मीटर 2 – 19.625 मीटर 2 = 58.875 मीटर 2

9. चांदी के तार से एक ब्रोच 35 मिमी व्यास वाले वृत्त के रूप में बनाया जाता है। तार का उपयोग 5 व्यास बनाने में भी किया जाता है जो वृत्त को 10 समान त्रिज्यखंडों में विभाजित करते हैं जैसा कि चित्र 12.12 में दिखाया गया है। पाना:

(i) आवश्यक चांदी के तार की कुल लंबाई।

(ii) ब्रोच के प्रत्येक सेक्टर का क्षेत्रफल।

समाधान:

व्यास (डी) = 35 मिमी

विचार किए जाने वाले व्यासों की कुल संख्या = 5

अब, 5 व्यासों की कुल लंबाई जिसकी आवश्यकता होगी = 35×5 = 175

वृत्त की परिधि = 2πr

या, सी = πD = 22/7×35 = 110

वृत्त का क्षेत्रफल = r 2

या, ए = (22/7)×(35/2) 2 = 1925/2 मिमी 2

(i) आवश्यक चांदी के तार की कुल लंबाई = वृत्त की परिधि + 5 व्यास की लंबाई

= 110+175 = 285 मिमी

(ii) ब्रोच में सेक्टरों की कुल संख्या = 10

अत: प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का कुल क्षेत्रफल/खंडों की संख्या

∴ प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (1925/2)×1/10 = 385/4 मिमी 2

10. एक छतरी में 8 पसलियां होती हैं जो समान दूरी पर होती हैं (देखिए आकृति 12.13)। छतरी को 45 सेमी त्रिज्या का एक सपाट वृत्त मानते हुए, छतरी की दो क्रमागत पसली के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

छतरी की त्रिज्या (r) समतल होने पर = 45 cm

अतः, वृत्त का क्षेत्रफल (A) = πr 2 = (22/7)×(45) 2 =6364.29 cm 2

पसलियों की कुल संख्या (n) = 8

छाता की दो क्रमागत पसली के बीच का क्षेत्रफल = A/n

6364.29/8 सेमी 2

या, छतरी की दो क्रमागत पसली के बीच का क्षेत्रफल = 795.5 cm 2

11. एक कार में दो वाइपर होते हैं जो ओवरलैप नहीं करते हैं। प्रत्येक वाइपर में 115° के कोण से घूमते हुए 25 सेमी लंबाई का एक ब्लेड होता है। ब्लेड के प्रत्येक स्वीप पर साफ किए गए कुल क्षेत्रफल का पता लगाएं।

समाधान:

दिया गया,

त्रिज्या (आर) = 25 सेमी

त्रिज्यखंड कोण (θ) = 115°

चूंकि 2 ब्लेड हैं,

वाइपर द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का कुल क्षेत्रफल = 2×(θ/360°)×π r 2

= 2×(115/360)×(22/7)×25 2

= 2×158125/252 सेमी 2

= 158125/126 = 1254.96 सेमी 2

12. जहाजों को पानी के नीचे की चट्टानों के लिए चेतावनी देने के लिए, एक प्रकाशस्तंभ 80° कोण वाले क्षेत्र पर 16.5 किमी की दूरी पर एक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस क्षेत्र का पता लगाएं जिस पर जहाजों को चेतावनी दी जाती है।

(π = 3.14 का प्रयोग करें)

समाधान:

ओ को लाइटहाउस की स्थिति पर दांव लगाने दें।

यहां त्रिज्या वह दूरी होगी जिस पर प्रकाश फैलता है।

दिया गया है, त्रिज्या (r) = 16.5 km

त्रिज्यखंड कोण (θ) = 80°

अब, समुद्र का कुल क्षेत्रफल जिस पर जहाजों को चेतावनी दी जाती है = क्षेत्र द्वारा बनाया गया क्षेत्रफल

या, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)×πr 2

= (80°/360°)×πr 2 किमी 2

= 189.97 किमी 2

13. एक गोल मेज के कवर में छह समान डिजाइन हैं जैसा कि चित्र 12.14 में दिखाया गया है। यदि कवर की त्रिज्या 28 सेमी है, तो ₹ 0.35 प्रति सेमी 2 की दर से डिजाइन बनाने की लागत पाएं । (√3 = 1.7 का प्रयोग करें)

समाधान:

समान डिजाइनों की कुल संख्या = 6

एओबी = 360°/6 = 60°

कवर की त्रिज्या = 28 सेमी

डिजाइन बनाने की लागत = ₹ 0.35 प्रति सेमी 2

चूँकि त्रिभुज की दोनों भुजाएँ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं और इस प्रकार समान हैं, और एक कोण 60° है, AOB एक समबाहु त्रिभुज है। तो, इसका क्षेत्रफल होगा (√3/4)×a 2 वर्ग इकाई

यहाँ, a = OA

∴ समबाहु AOB का क्षेत्रफल = (√3/4)×28 2 = 333.2 सेमी 2

त्रिज्यखंड ACB का क्षेत्रफल = (60°/360°)×πr 2 cm 2

= 410.66 सेमी 2

अतः, एकल डिज़ाइन का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड ACB का क्षेत्रफल - AOB . का क्षेत्रफल

= 410.66 सेमी 2 - 333.2 सेमी 2 = 77.46 सेमी 2

∴ 6 डिजाइनों का क्षेत्रफल = 6×77.46 सेमी 2 = 464.76 सेमी 2

तो, डिजाइन बनाने की कुल लागत = 464.76 सेमी 2 × रु.0.35 प्रति सेमी 2

= रु. 162.66

14. निम्नलिखित में सही समाधान का चयन करें:

त्रिज्या R वाले वृत्त के कोण p (डिग्री में) वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है

(ए) पी/180 × 2πR

(बी) पी/180 × π आर 2

(सी) पी/360 × 2πR

(डी) पी/720 × 2πआर 2

समाधान:

एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)×πr 2

दिया गया है, = p

अत: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = p/360×πR 2

2 से गुणा और भाग एक साथ,

= (पी/360)×2/2×πR 2

= (2p/720)×2πR 2

तो, विकल्प (डी) सही है।

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Exercise : 12.3 (पृष्ठ संख्या: 234)

1. आकृति 12.19 में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 सेमी, PR = 7 सेमी और O वृत्त का केंद्र है।

समाधान:

यहाँ, P अर्धवृत्त में है और इसलिए,

पी = 90°

अतः, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि QR वृत्त का कर्ण है और वृत्त के व्यास के बराबर है।

क्यूआर = डी

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना,

क्यूआर 2 = पीआर 2 + पीक्यू 2

या, क्यूआर 2 = 7 2 +24 2

क्यूआर = 25 सेमी = व्यास

अत: वृत्त की त्रिज्या = 25/2 cm

अब, अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (πR 2 )/2

= (22/7)×(25/2)×(25/2)/2 सेमी 2

= 13750/56 सेमी 2 = 245.54 सेमी 2

साथ ही, PQR का क्षेत्रफल = ½×PR×PQ

=(½)×7×24 सेमी 2

= 84 सेमी 2

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 245.54 सेमी 2 -84 सेमी 2

= 161.54 सेमी 2

2. आकृति 12.20 में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि O केन्द्र वाले दो संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं और AOC = 40° है।

समाधान:

दिया गया,

त्रिज्यखंड द्वारा बनाया गया कोण = 40°,

त्रिज्या आंतरिक वृत्त = r = 7 सेमी, और

बाहरी वृत्त की त्रिज्या = R = 14 सेमी

हम जानते है,

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)×πr 2

अतः, OAC का क्षेत्रफल = (40°/360°)×πr 2 cm 2

= 68.44 सेमी 2

त्रिज्यखंड OBD का क्षेत्रफल = (40°/360°)×πr 2 cm 2

= (1/9)×(22/7)×7 2 = 17.11 सेमी 2

अब, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ABCC = OAC का क्षेत्रफल - OBD का क्षेत्रफल

= 68.44 सेमी 2 - 17.11 सेमी 2 = 51.33 सेमी 2

3. आकृति 12.21 में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 सेमी का एक वर्ग है और APD और BPC अर्धवृत्त हैं।

समाधान:

वर्ग ABCD की भुजा (जैसा दिया गया है) = 14 सेमी

अत: ABCD का क्षेत्रफल = a 2

= 14×14 सेमी 2 = 196 सेमी 2

हम जानते हैं कि वर्ग की भुजा = वृत्त का व्यास = 14 सेमी

अत: वर्ग की भुजा = अर्धवृत्त का व्यास = 14 सेमी

∴ अर्धवृत्त की त्रिज्या = 7 सेमी

अब, अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (πR 2 )/2

= (22/7×7×7)/2 सेमी 2 

= 77 सेमी 2

∴ दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल = 2×77 सेमी 2 = 154 सेमी 2

अत: छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल

= 196 सेमी 2 -154 सेमी 2

= 42 सेमी 2

4. आकृति 12.22 में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहां 12 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्ताकार चाप खींचा गया है।

समाधान:

यह दिया गया है कि OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसका प्रत्येक कोण 60° . है

क्षेत्र का क्षेत्रफल दोनों में समान है।

वृत्त की त्रिज्या = 6 सेमी.

त्रिभुज की भुजा = 12 सेमी.

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) (OA) 2 = (√3/4)×12 2 = 36√3 सेमी 2

वृत्त का क्षेत्रफल = R 2 = (22/7)×6 2 = 792/7 सेमी 2

कोण बनाने वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 60° = (60°/360°) ×πr 2 सेमी 2

= (1/6)×(22/7)× 6 2 सेमी 2 = 132/7 सेमी 2

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल + वृत्त का क्षेत्रफल - त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= 36√3 सेमी 2 +792/7 सेमी 2 -132/7 सेमी 2

= (36√3+660/7) सेमी 2

5. 4 सेमी भुजा वाले वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का चतुर्थांश काटा जाता है और 2 सेमी व्यास वाले एक वृत्त को भी काटा जाता है जैसा कि चित्र 12.23 में दिखाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

वर्ग की भुजा = 4 सेमी

वृत्त की त्रिज्या = 1 सेमी

एक वृत्त के चार चतुर्थांश कोने से काटे जाते हैं और त्रिज्या के एक वृत्त को बीच से काटा जाता है।

वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा) 2 = 4 2 = 16 सेमी 2

चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (πR 2 )/4 सेमी 2 = (22/7)×(1 2 )/4 = 11/14 सेमी 2

∴ 4 चतुर्भुजों का कुल क्षेत्रफल = 4 ×(11/14) सेमी 2 = 22/7 सेमी 2

वृत्त का क्षेत्रफल = πR 2 सेमी 2 = (22/7×1 2 ) = 22/7 सेमी 2

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - (4 चतुर्भुजों का क्षेत्रफल + वृत्त का क्षेत्रफल)

= 16 सेमी 2 - (22/7) सेमी 2  - (22/7) सेमी 2

= 68/7 सेमी 2

6. 32 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार टेबल कवर में एक समबाहु त्रिभुज ABC को बीच में छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बनाया गया है जैसा कि चित्र 12.24 में दिखाया गया है। डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

वृत्त की त्रिज्या = 32 सेमी

वृत्त के केंद्र से गुजरने वाले त्रिभुज की माध्यिका AD खींचिए।

बीडी = एबी/2

चूँकि AD त्रिभुज की माध्यिका है

AO = वृत्त की त्रिज्या = (2/3) AD

(2/3)AD = 32 सेमी

एडी = 48 सेमी

ΔADB में,

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

एबी 2 = एडी 2 +बीडी 2

AB 2 = 48 2 +(AB/2) 2

⇒ एबी 2 = 2304+एबी 2 /4

3/4 (एबी 2 )= 2304

एबी 2 = 3072

⇒ एबी = 32√3 सेमी

ADB का क्षेत्रफल = √3/4 ×(32√3) 2 सेमी 2 = 768√3 सेमी 2

वृत्त का क्षेत्रफल = πR 2 = (22/7)×32×32 = 22528/7 सेमी 2

डिजाइन का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – ADB . का क्षेत्रफल

= (22528/7 - 768√3) सेमी 2

7. आकृति 12.25 में, ABCD 14 सेमी भुजा वाला एक वर्ग है। केंद्रों A, B, C और D के साथ, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

वर्ग की भुजा = 14 सेमी

वर्ग की चारों भुजाओं में चार चतुर्भुज शामिल हैं।

वृत्तों की त्रिज्या = 14/2 सेमी = 7 सेमी

वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = 14 2 = 196 सेमी 2

चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (πR 2 )/4 सेमी 2 = (22/7) ×7 2 /4 सेमी 2

= 77/2 सेमी 2

चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल = 4×77/2 सेमी 2 = 154 सेमी 2

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्ग ABCD का क्षेत्रफल - चतुर्भुज का क्षेत्रफल

= 196 सेमी 2 - 154 सेमी 2

= 42 सेमी 2

8. चित्र 12.26 में एक रेसिंग ट्रैक को दर्शाया गया है जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं।

दो आंतरिक समानांतर रेखाखंडों के बीच की दूरी 60 मीटर है और वे प्रत्येक 106 मीटर लंबे हैं। यदि ट्रैक 10 मीटर चौड़ा है, तो खोजें:

(i) इसके आंतरिक किनारे के साथ ट्रैक के चारों ओर की दूरी

(ii) ट्रैक का क्षेत्रफल।

समाधान:

ट्रैक की चौड़ाई = 10 मी

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी = 60 m

समानांतर पटरियों की लंबाई = 106 m

डीई = सीएफ = 60 एम

आंतरिक अर्धवृत्त की त्रिज्या, r = OD = O'C

= 60/2 मी = 30 मी

बाहरी अर्धवृत्त की त्रिज्या, R = OA = O'B

= 30+10 मी = 40 मी

साथ ही, AB = CD = EF = GH = 106 m

ट्रैक के आंतरिक किनारे के साथ दूरी = CD+EF+2×(आंतरिक अर्धवृत्त की परिधि)

= 106+106+(2×πr) एम = 212+(2×22/7×30) एम

= 212+1320/7 मी = 2804/7 मी

ट्रैक का क्षेत्रफल = ABCD का क्षेत्रफल + क्षेत्रफल EFGH + 2 × (बाहरी अर्धवृत्त का क्षेत्रफल) – 2 × (आंतरिक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल)

= (AB×CD)+(EF×GH)+2×(πr 2/2 ) -2×(πR 2/2 ) m 2

= (106×10)+(106×10)+2×π/2(r 2 -R 2 ) मी 2

= 2120+22/7×70×10 मीटर 2

= 4320 मीटर 2

9. आकृति 12.27 में, AB और CD एक वृत्त के दो व्यास (केंद्र O के साथ) एक दूसरे के लंबवत हैं और OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 सेमी है, तो छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

बड़े वृत्त की त्रिज्या, R = 7 सेमी

छोटे वृत्त की त्रिज्या, r = 7/2 cm

BCA = OC = 7 सेमी . की ऊँचाई

BCA का आधार = AB = 14 सेमी

ΔBCA का क्षेत्रफल = 1/2 × AB × OC = (½)×7×14 = 49 सेमी 2

बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = πR 2 = (22/7)×7 2 = 154 सेमी 2

बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 154/2 सेमी 2 = 77 सेमी 2

छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = πr 2 = (22/7)×(7/2)×(7/2) = 77/2 सेमी 2

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल - बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल + छोटे वृत्त का क्षेत्रफल

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (154-49-77+77/2) सेमी 2

= 133/2 सेमी 2 = 66.5 सेमी 2

10. एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm 2 है । त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर, एक वृत्त खींचा जाता है जिसकी त्रिज्या त्रिभुज की भुजा की आधी लंबाई के बराबर होती है (देखिए आकृति 12.28)। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 का प्रयोग करें)

समाधान:

ABC एक समबाहु त्रिभुज है।

ए = ∠ बी = सी = 60°

तीन सेक्टर हैं जिनमें से प्रत्येक 60° बना रहा है।

ABC का क्षेत्रफल = 17320.5 सेमी 2

3/4 ×(पक्ष) 2 = 17320.5

⇒ (पक्ष) 2 =17320.5×4/1.73205

(पक्ष) 2 = 4×10 4

भुजा = 200 सेमी

वृत्तों की त्रिज्या = 200/2 सेमी = 100 सेमी

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (60°/360°)×π r 2 सेमी 2

= 1/6×3.14×(100) 2 सेमी 2

= 15700/3 सेमी 2

3 त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = 3×15700/3 = 15700 सेमी 2

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल - 3 त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल

= 17320.5-15700 सेमी 2 = 1620.5 सेमी 2

11. एक वर्गाकार रूमाल पर 7 cm त्रिज्या वाले नौ वृत्ताकार डिज़ाइन बनाए गए हैं (देखिए आकृति 12.29)। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

वृत्ताकार डिजाइनों की संख्या = 9

वृत्ताकार डिजाइन की त्रिज्या = 7 सेमी

चौकोर रूमाल के एक तरफ तीन वृत्त होते हैं।

वर्ग की भुजा = 3×वृत्त का व्यास = 3×14 = 42 सेमी

वर्ग का क्षेत्रफल = 42×42 सेमी 2 = 1764 सेमी 2

वृत्त का क्षेत्रफल = π r 2 = (22/7)×7×7 = 154 सेमी 2

डिजाइन का कुल क्षेत्रफल = 9×154 = 1386 सेमी 2

रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - डिजाइन का कुल क्षेत्रफल = 1764 - 1386 = 378 सेमी 2

12. आकृति 12.30 में, OACB एक वृत्त का चतुर्थांश है जिसका केंद्र 0 है और त्रिज्या 3.5 सेमी है। यदि OD = 2 सेमी है, तो का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

(i) चतुर्थांश OACB,

(ii) छायांकित क्षेत्र।

समाधान:

चतुर्भुज की त्रिज्या = 3.5 सेमी = 7/2 सेमी

(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = (πR 2 )/4 सेमी 2

= (22/7)×(7/2)×(7/2)/4 सेमी 2

= 77/8 सेमी 2

(ii) त्रिभुज BOD का क्षेत्रफल = (½)×(7/2)×2 cm 2

= 7/2 सेमी 2

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = चतुर्भुज का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल BOD

= (77/8)-(7/2) सेमी 2 = 49/8 सेमी 2

= 6.125 सेमी 2

13. आकृति 12.31 में, चतुर्भुज OPBQ में एक वर्ग OABC अंकित है। यदि OA = 20 सेमी है, तो छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

समाधान:

वर्ग की भुजा = OA = AB = 20 सेमी

चतुर्भुज की त्रिज्या = OB

OAB समकोण त्रिभुज है

OAB में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

ओबी 2 = एबी 2 +ओए 2

ओबी 2 = 20 2 +20 2

ओबी 2 = 400+400

ओबी 2 = 800

ओबी = 20√2 सेमी

चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (πR 2 )/4 सेमी 2 = (3.14/4)×(20√2) 2 सेमी 2 = 628 सेमी 2

वर्ग का क्षेत्रफल = 20×20 = 400 सेमी 2

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = चतुर्भुज का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल

= 628-400 सेमी 2 = 228 सेमी 2

14. AB और CD क्रमशः 21 सेमी और 7 सेमी त्रिज्या वाले दो संकेंद्रित वृत्तों के चाप हैं और केंद्र O (देखिए आकृति 12.32)। यदि AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

बड़े वृत्त की त्रिज्या, R = 21 सेमी

छोटे वृत्त की त्रिज्या, r = 7 cm

दोनों संकेंद्रित वृत्तों के त्रिज्यखंडों द्वारा बनाया गया कोण = 30°

बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (30°/360°)×πR 2 सेमी 2

= (1/12)×(22/7)×21 2 सेमी 2

= 231/2 सेमी 2

छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = (30°/360°)×πr 2 सेमी 2

= 1/12×22/7×7 2 सेमी 2

=77/6 सेमी 2

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (231/2) - (77/6) सेमी 2

= 616/6 सेमी 2 = 308/3 सेमी 2

15. आकृति 12.33 में, ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है और BC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

समाधान:

वृत्त के चतुर्थांश ABC की त्रिज्या = 14 सेमी

एबी = एसी = 14 सेमी

BC अर्धवृत्त का व्यास है।

ABC समकोण त्रिभुज है।

ABC में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

बीसी 2 = एबी 2 +एसी 2

ईसा पूर्व 2 = 14 2 +14 2

ईसा पूर्व = 14√2 सेमी

अर्धवृत्त की त्रिज्या = 14√2/2 सेमी = 7√2 सेमी

ABC का क्षेत्रफल =( ½)×14×14 = 98 सेमी 2

चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (¼)×(22/7)×(14×14) = 154 सेमी 2

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (½)×(22/7)×7√2×7√2 = 154 सेमी 2

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल + ABC का क्षेत्रफल – चतुर्भुज का क्षेत्रफल

= 154 +98-154 सेमी 2 = 98 सेमी 2

16. आकृति 12.34 में 8 सेमी त्रिज्या वाले वृत्तों के दो चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

एबी = बीसी = सीडी = एडी = 8 सेमी

ΔABC का क्षेत्रफल = ADC का क्षेत्रफल = (½)×8×8 = 32 सेमी 2

चतुर्भुज AECB का क्षेत्रफल = चतुर्भुज AFCD का क्षेत्रफल = (¼)×22/7×8 2

= 352/7 सेमी 2

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (चतुर्थांश AECB का क्षेत्रफल - ΔABC का क्षेत्रफल) = (चतुर्थांश AFCD का क्षेत्रफल - ΔADC का क्षेत्रफल)

= (352/7 -32)+(352/7- 32) सेमी 2

= 2×(352/7-32) सेमी 2

= 256/7 सेमी 2