NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 13- पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

कक्षा 10 गणित अध्याय 13 के लिए एनसीईआरटी समाधान 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 सतही क्षेत्रफल और आयतन , डाउनलोड करने योग्य PDF प्रारूप में यहाँ दिए गए हैं। यहाँ, इस अध्याय में, आप विभिन्न आकृतियों जैसे शंकु, गोले, बेलन आदि के पृष्ठीय क्षेत्रफलों और आयतनों पर आधारित प्रश्नों को हल करना सीखेंगे। साथ ही, ठोस का एक आकार से दूसरी आकृति में रूपांतरण और फिर पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना और गठित नए आकार का आयतन। छात्रों को विभिन्न आकृतियों की अवधारणाओं को समझने में मदद करने के लिए हमारे गणित विशेषज्ञों द्वारा समाधान तैयार किए जाते हैं। 3डी आकृतियों में क्षेत्रफल और आयतन के विभिन्न माप होते हैं, जिन्हें कक्षा 10 गणित अध्याय 13, सतही क्षेत्रफल और आयतन के लिए दिए गए NCERT Solutions में बहुत स्पष्ट रूप से समझाया और हल किया गया है ।

यहां प्रदान किए गए समाधान वर्ष 2022-23 के लिए सीबीएसई पाठ्यक्रम पर नवीनतम अपडेट और दिशानिर्देशों के संदर्भ में हैं ताकि छात्रों को पाठ्यपुस्तकों में मौजूद अभ्यास प्रश्नों को हल करने में मदद मिल सके। हमने सीबीएसई टर्म II परीक्षा के लिए उन सभी प्रश्नों को शामिल किया है जिनके साथ प्रश्न पत्र तैयार किए जा सकते हैं। इसलिए, ये एनसीईआरटी समाधान छात्रों के लिए सीबीएसई कक्षा 10 गणित के दूसरे सत्र की परीक्षा की तैयारी के दौरान एक संदर्भ उपकरण के रूप में उपयोग करने में बहुत मददगार हैं।

प्रवेश गणित एनसीईआरटी कक्षा 10 अध्याय 13 - सतह क्षेत्र और खंड के उत्तर

Exercise - 13.1 (पृष्ठ संख्या: 244)

1. 2 घन, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 सेमी 3 है, एक सिरे से दूसरे सिरे तक जुड़े हुए हैं। परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर :

आरेख इस प्रकार दिया गया है:

दिया गया,

प्रत्येक घन का आयतन (V) = 64 सेमी 3 . है

इसका अर्थ है कि a 3 = 64 cm 3

ए = 4 सेमी

अब, घन की भुजा = a = 4 cm

साथ ही, परिणामी घनाभ की लंबाई और चौड़ाई प्रत्येक में 4 सेमी होगी। जबकि इसकी ऊंचाई 8 सेमी होगी।

अत: घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb+bh+lh)

= 2(8×4+4×4+4×8) सेमी 2

= 2(32+16+32) सेमी 2

= (2×80) सेमी 2 = 160 सेमी 2

2. एक बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का होता है जो एक खोखले बेलन से घिरा होता है। अर्धगोले का व्यास 14 सेमी है और बर्तन की कुल ऊंचाई 13 सेमी है। बर्तन की आंतरिक सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

आरेख इस प्रकार है:

अब, दिए गए पैरामीटर हैं:

अर्धगोले का व्यास = D = 14 सेमी

अर्धगोले की त्रिज्या = r = 7 सेमी

साथ ही, बेलन की ऊँचाई = h = (13-7) = 6 cm

तथा, खोखले अर्धगोले की त्रिज्या = 7 सेमी

अब बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलनाकार भाग का CSA + अर्धगोलाकार भाग का CSA

(2πrh+2πr 2 ) सेमी 2 = 2πr(h+r) सेमी 2

2×(22/7)×7(6+7) सेमी 2 = 572 सेमी 2

3. एक खिलौना 3.5 सेमी त्रिज्या के एक शंकु के आकार का है जो समान त्रिज्या के एक अर्धगोले पर लगा है। खिलौने की कुल ऊंचाई 15.5 सेमी है। खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

आरेख इस प्रकार है:

दिया गया है कि शंकु और अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 3.5 सेमी या 7/2 सेमी

खिलौने की कुल ऊंचाई 15.5 सेमी दी गई है।

अतः शंकु की ऊँचाई (h) = 15.5-3.5 = 12 cm

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = rl

(22/7)×(7/2)×(25/2) = 275/2 सेमी 2

साथ ही, अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr 2

2×(22/7)×(7/2) 2

= 77 सेमी 2

अब, खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का CSA + अर्धगोले का CSA

= (275/2)+77 सेमी 2

= (275+154)/2 सेमी 2

= 429/2 सेमी 2 = 214.5 सेमी 2

अतः, खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) 214.5cm 2 . है

4. 7 सेमी भुजा वाले एक घनाकार गुटके पर एक अर्धगोला लगा है। गोलार्ध का सबसे बड़ा व्यास क्या हो सकता है? ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया है कि घन की प्रत्येक भुजा 7 सेमी. अत: त्रिज्या 7/2 सेमी होगी।

हम जानते है,

ठोस (TSA) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = घनीय खंड का पृष्ठीय क्षेत्रफल + गोलार्द्ध का CSA - अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल

ठोस का TSA = 6×(भुजा) 2 +2πr 2 -πr 2

= 6×(भुजा) 2 +πr 2

= 6×(7) 2 +(22/7)×(7/2)×(7/2)

= (6×49)+(77/2)

= 294+38.5 = 332.5 सेमी 2

अत: ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल 332.5 सेमी 2 . है

5. एक घनीय लकड़ी के गुटके के एक फलक से एक अर्धगोलाकार अवनमन इस प्रकार काटा जाता है कि अर्धगोले का व्यास 1 घन के किनारे के बराबर हो। शेष ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

आरेख इस प्रकार है:

अब अर्धगोले का व्यास = घन का किनारा = l

अत: अर्धगोले की त्रिज्या = l/2

ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का CSA – अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल

शेष ठोस का टीएसए = 6 (किनारे) 2 +2πr 2 -πr 2

= 6l 2  + r 2

= 6l 2 +π(l/2) 2

= 6l 2 +πl 2 /4

= एल 2 /4(24+π) वर्ग इकाई

6. एक दवा का कैप्सूल एक बेलन के आकार का होता है जिसके प्रत्येक सिरे पर दो गोलार्द्ध होते हैं। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 मिमी और कैप्सूल का व्यास 5 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

नीचे दिए गए चित्र में दो अर्धगोले और एक बेलन को दिखाया गया है।

यहाँ, कैप्सूल का व्यास = 5 मिमी

त्रिज्या = 5/2 = 2.5 मिमी

अब, कैप्सूल की लंबाई = 14 मिमी

अत: बेलन की लंबाई = 14-(2.5+2.5) = 9 मिमी

∴ एक अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr 2 = 2×(22/7)×2.5×2.5

= 275/7 मिमी 2

अब, बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

= 2×(22/7)×2.5×9

(22/7) × 45 = 990/7 मिमी 2

इस प्रकार, दवा कैप्सूल का आवश्यक सतह क्षेत्र होगा

= 2×अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= (2×275/7) × 990/7

= (550/7) + (990/7) = 1540/7 = 220 मिमी 2

7. एक टेंट एक बेलन के आकार का है जिसके ऊपर एक शंक्वाकार शीर्ष है। यदि बेलनाकार भाग की ऊंचाई और व्यास क्रमशः 2.1 मीटर और 4 मीटर है, और शीर्ष की तिरछी ऊंचाई 2.8 मीटर है, तो तम्बू बनाने के लिए उपयोग किए गए कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात करें। इसके अलावा, 500 रुपये प्रति मीटर 2 की दर से तम्बू के कैनवास की लागत पाएं । (ध्यान दें कि तम्बू का आधार कैनवास से ढका नहीं होगा।)

उत्तर:

यह ज्ञात है कि टेंट बेलन और शंकु का संयोजन है।

प्रश्न से हम जानते हैं कि

व्यास = 4 मी

शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = 2.8 m

शंकु की त्रिज्या (r) = बेलन की त्रिज्या = 4/2 = 2 m

बेलन की ऊँचाई (h) = 2.1 m

अत: तम्बू का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= rl+2πrh

= r(l+2h)

= (22/7)×2(2.8+2×2.1)

= (44/7)(2.8+4.2)

= (44/7)×7 = 44 मीटर 2

टेंट के कैनवस का मूल्य ₹500 प्रति m2 की दर से होगा

= सतह क्षेत्र × लागत प्रति मी 2

44×500 = ₹22000

तो, रु. 22000 कैनवास की कुल लागत होगी।

8. एक ठोस बेलन से जिसकी ऊँचाई 2.4 सेमी और व्यास 1.4 सेमी है, एक शंक्वाकार गुहा है

समान ऊँचाई और समान व्यास को खोखला कर दिया जाता है। का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

निकटतम सेमी 2 तक ठोस शेष ।

उत्तर:

प्रश्न के लिए आरेख इस प्रकार है:

प्रश्न से हम निम्नलिखित जानते हैं:

बेलन का व्यास = शंक्वाकार गुहा का व्यास = 1.4 सेमी

अत: बेलन की त्रिज्या = शंक्वाकार गुहा की त्रिज्या = 1.4/2 = 0.7

साथ ही, बेलन की ऊँचाई = शंक्वाकार गुहा की ऊँचाई = 2.4 cm

अब, शेष ठोस का TSA = शंक्वाकार गुहा का पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन का TSA

= rl+(2πrh+πr 2 )

= r(l+2h+r)

= (22/7)× 0.7(2.5+4.8+0.7)

= 2.2×8 = 17.6 सेमी 2

अतः, शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 17.6 सेमी 2 . है

---

Exercise - 13.2 (पृष्ठ संख्या: 247)

1. एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है, जिसकी दोनों त्रिज्याएँ 1 सेमी के बराबर हैं और शंकु की ऊँचाई इसकी त्रिज्या के बराबर है। के पदों में ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यहाँ r = 1 सेमी और h = 1 सेमी।

आरेख इस प्रकार है।

अब, ठोस का आयतन = शंक्वाकार भाग का आयतन + अर्धगोलाकार भाग का आयतन

हम जानते हैं कि शंकु का आयतन = r 2 h

और,

अर्धगोले का आयतन = r 3

अत: ठोस का आयतन होगा

= सेमी 3

2. एक इंजीनियरिंग छात्र राहेल को एक पतली एल्युमिनियम शीट का उपयोग करके एक सिलेंडर के आकार का एक मॉडल बनाने के लिए कहा गया, जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु लगे हों। मॉडल का व्यास 3 सेमी है और इसकी लंबाई 12 सेमी है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 सेमी है, तो राहेल द्वारा बनाए गए मॉडल में निहित हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (मान लें कि मॉडल के बाहरी और आंतरिक आयाम लगभग समान हैं।)

समाधान:

ऊपरी शंक्वाकार भाग के लिए, आधार की त्रिज्या   = 1.5 सेमी 

ऊँचाई   = 2 सेमी

आयतन = 

= 

= 

निचले शंक्वाकार भाग के लिए आयतन = 

केंद्रीय बेलनाकार भाग के लिए:

आधार की त्रिज्या   = 1.5 सेमी

ऊँचाई   = 12 - (2 + 2) = 8 सेमी

आयतन =   =   = 

 मॉडल का आयतन =   +   +   = शीर्ष शंकु का आयतन + निचले शंकु का आयतन + बेलनाकार भाग का आयतन

= 

==   _ 

3. एक गुलाब जामुन में चाशनी की मात्रा लगभग 30% तक होती है। 45 गुलाब जामुन में लगभग कितनी चाशनी मिलेगी, प्रत्येक का आकार एक बेलन के आकार का है जिसके दो अर्धगोलाकार सिरों की लंबाई 5 सेमी और व्यास 2.8 सेमी है (आकृति देखें)।

समाधान:

गुलाब जामुन का आयतन = =  2 गोलार्द्ध का आयतन + बेलन का आयतन 

= 

= 

= 

==   _ 

 45 गुलाब जामुन का आयतन

= 

= 

= 

 चाशनी का आयतन =  = 45 गुलाब जामुन के आयतन का 30%

=  =  (लगभग।)

4. लकड़ी से बना एक पेन स्टैंड एक घनाभ के आकार का होता है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे होते हैं। घनाभ की विमाएं 15 सेमी गुणा 10 सेमी गुणा 3.5 सेमी हैं। प्रत्येक गड्ढा की त्रिज्या 0.5 सेमी और गहराई 1.4 सेमी है। पूरे स्टैंड में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (चित्र देखें)।

समाधान:

घनाभ का आयतन = लंबाई x चौड़ाई x ऊंचाई

हम घनाभ की विमाओं को 15 cmx10 cmx3.5 cm . के रूप में जानते हैं

अत: घनाभ का आयतन = 15x10x3.5 = 525 सेमी 3

यहाँ, अवसाद शंकु की तरह हैं और हम जानते हैं,

शंकु का आयतन = (⅓)πr 2 h

दिया गया है, त्रिज्या (r) = 0.5 सेमी और गहराई (h) = 1.4 सेमी

∴ 4 शंकुओं का आयतन = 4x(⅓)πr 2 h

= 1.46 सेमी 2

अब, लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – 4 x शंकु का आयतन

= 525-1.46 = 523.54 सेमी 2

5. एक बर्तन उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊंचाई 8 सेमी है और इसके शीर्ष की त्रिज्या, जो खुली है, 5 सेमी है। इसमें किनारे तक पानी भरा रहता है। जब लेड शॉट, जिनमें से प्रत्येक 0.5 सेमी त्रिज्या का एक गोला है, को बर्तन में गिराया जाता है, तो एक चौथाई पानी बह जाता है। बर्तन में गिराए गए लीड शॉट्स की संख्या पाएं।

समाधान:

शंकु के लिए,

त्रिज्या = 5 सेमी,

ऊँचाई = 8 सेमी

भी,

गोले की त्रिज्या = 0.5 सेमी

आरेख इस प्रकार होगा

यह जाना जाता है कि,

शंकु का आयतन = शंकु में पानी का आयतन

= r 2 h = (200/3)π सेमी 3

अभी,

अतिप्रवाहित पानी की कुल मात्रा = (¼)×(200/3) π =(50/3)π

लीड शॉट की मात्रा

= (4/3)πr 3

= (1/6)

अभी,

लीड शॉट्स की संख्या = प्रवाहित पानी का कुल आयतन/लीड शॉट का आयतन

= (50/3)π/(⅙)π

= (50/3)×6 = 100

6. एक ठोस लोहे के खंभे में 220 सेमी ऊंचाई और आधार व्यास 24 सेमी का एक सिलेंडर होता है, जो 60 सेमी ऊंचाई और त्रिज्या 8 सेमी के एक अन्य सिलेंडर से आरोहित होता है। पोल का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह देखते हुए कि 1 सेमी 3 लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 ग्राम है।

समाधान:

निचले बेलन के लिए, आधार त्रिज्या   =   = 12 सेमी 

और ऊँचाई   = 220 सेमी

आयतन = 

= 

=  

ऊपरी बेलन के लिए, आधार त्रिज्या (R) = 8 cm

और ऊँचाई (H) = 60 सेमी

आयतन = 

= 

=  

 लोहे के ठोस पोल का आयतन

= निचले बेलन का V + ऊपरी बेलन का V

=   +   = 

=  = 111532.8 

1 सेमी 3 लोहे का द्रव्यमान  = 8 ग्राम

111532.8 सेमी 3  लोहा = 8* 111532.8 = 892262.4 ग्राम = 892.2624 किलो का द्रव्यमान

7. एक लम्ब वृत्तीय शंकु जिसकी ऊँचाई 120 सेमी और त्रिज्या 60 सेमी है, जो 60 सेमी त्रिज्या के एक अर्धगोले पर खड़ा है, पानी से भरे एक लम्ब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा रखा गया है कि वह तल को स्पर्श करे। बेलन में बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, यदि बेलन की त्रिज्या 60 सेमी है और इसकी ऊंचाई 180 सेमी है।

समाधान:

यहाँ, बचे हुए पानी का आयतन होगा = बेलन का आयतन - ठोस का आयतन

दिया गया,

शंकु की त्रिज्या = 60 सेमी,

शंकु की ऊँचाई = 120 सेमी

बेलन की त्रिज्या = 60 सेमी

बेलन की ऊँचाई = 180 सेमी

अर्धगोले की त्रिज्या = 60 सेमी

अभी,

ठोस का कुल आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन

शंकु का आयतन = 1/3πr 2 h = 1/3 × ×60 2 ×120cm 3 = 144×10 3 π cm 3

अर्धगोले का आयतन = (⅔)×π×60 3 सेमी 3 = 144×10 3 π सेमी 3

अतः, ठोस का कुल आयतन = 144×10 3 π सेमी 3 + 144×10 3 π सेमी 3 = 288 ×10 3 π सेमी 3

बेलन का आयतन = π×60 2 × 180 = 648000 = 648×10 3 π सेमी 3

अब बचे हुए पानी का आयतन होगा = बेलन का आयतन - ठोस का आयतन

= (648-288) × 10 3 ×π = 1.131 मीटर 3

8. एक गोलाकार कांच के बर्तन में 8 सेमी लंबी, 2 सेमी व्यास की बेलनाकार गर्दन होती है; गोलाकार भाग का व्यास 8.5 सेमी है। पानी की मात्रा को मापने पर, एक बच्चा इसका आयतन 345 सेमी 3 पाता है । जाँच करें कि क्या वह सही है, उपरोक्त को आंतरिक माप के रूप में लेते हुए, और = 3.14।

समाधान:

दिया गया,

बेलन वाले भाग के लिए ऊँचाई (h) = 8 सेमी और त्रिज्या (R) = (2/2) सेमी = 1 सेमी

गोलाकार भाग के लिए, त्रिज्या (r) = (8.5/2) = 4.25 cm

अब, इस बर्तन का आयतन = बेलन का आयतन + गोले का आयतन

= π×(1) 2 ×8+(4/3)π(4.25) 3

= 346.51 सेमी 3

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Exercise - 13.3 (पृष्ठ संख्या: 251)

1. 4.2 सेमी त्रिज्या वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या वाले बेलन का आकार दिया जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यह दिया गया है कि गोले की त्रिज्या (R) = 4.2 cm

साथ ही, बेलन की त्रिज्या (r) = 6 cm

अब माना बेलन की ऊँचाई = h

यह दिया जाता है कि गोले को पिघलाकर एक बेलन बनाया जाता है।

अत: गोले का आयतन = बेलन का आयतन

(4/3)×π×R 3 = π×r 2 ×h।

एच = 2.74 सेमी

2. क्रमशः 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी त्रिज्या वाले धातु के गोले को पिघलाकर एक ठोस गोला बनाया जाता है। परिणामी गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान:

क्षेत्र 1 के लिए:

त्रिज्या (आर 1 ) = 6 सेमी

आयतन (वी 1 ) = (4/3)×π×r 1 3

क्षेत्र 2 के लिए:

त्रिज्या (आर 2 ) = 8 सेमी

आयतन (वी 2 ) = (4/3)×π×r 2 3

क्षेत्र 3 के लिए:

त्रिज्या (आर 3 ) = 10 सेमी

आयतन (V 3 ) = (4/3)× × r 3 3

इसके अलावा, परिणामी गोले की त्रिज्या "r" होने दें

अभी,

परिणामी गोले का आयतन = V 1 +V 2 +V 3

(4/3)×π×r 3 = (4/3)×π×r 1 3 +(4/3)×π×r 2 3 +(4/3)×π×r 3 3

आर 3 = 6 3 +8 3 +10 3

आर 3 = 1728

आर = 12 सेमी

3. 7 मीटर व्यास वाला एक 20 मीटर गहरा कुआं खोदा जाता है और खुदाई से निकली मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 मीटर 14 मीटर का एक चबूतरा बनाया जाता है। प्लेटफार्म की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

कुएँ का व्यास = 7 m 

कुएँ की त्रिज्या   =   m

तथा खोदी गई मिट्टी की गहराई   = 20 m

प्लेटफॉर्म की लंबाई   = 22 मीटर, प्लेटफॉर्म की चौड़ाई   = 14 मीटर

माना प्लेटफॉर्म की ऊंचाई   m . है

प्रश्न के अनुसार,

खोदी गई मिट्टी का आयतन = प्लेटफार्म का आयतन

 

 

 एच′=22×7×7×20/28×22×14

  = 2.5 वर्ग मीटर

4. 3 मीटर व्यास का एक कुआं 14 मीटर गहरा खोदा गया है। इसमें से निकाली गई मिट्टी को 4 मीटर चौड़े एक वृत्ताकार वलय के आकार में एक तटबंध बनाने के लिए उसके चारों ओर समान रूप से फैलाया गया है। तटबंध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

नीचे दिए गए अनुसार कुएं का आकार बेलनाकार होगा।

दिया गया है, कुएँ की गहराई (h 1 ) = 14 m

कुएँ के वृत्ताकार सिरे का व्यास =3 m

अत: त्रिज्या (r 1 ) = 3/2 m

तटबंध की चौड़ाई = 4 मी

आकृति से, यह कहा जा सकता है कि तटबंध एक बाहरी त्रिज्या (r 2 ) वाला एक सिलेंडर होगा जिसमें 4+(3/2) = 11/2 m और आंतरिक त्रिज्या (r 1 ) 3/2m होगा।

अब, माना तटबंध की ऊँचाई h 2 . है

कुएँ से खोदी गई मिट्टी का आयतन = तटबंध बनाने में प्रयुक्त मिट्टी का आयतन

π×r 1 2 ×h 1 = π×(r 2 2 -r 1 2 ) × h 2

इसे हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

तटबंध की ऊंचाई (एच 2 ) 1.125 मीटर के रूप में।

5. एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का एक कंटेनर जिसका व्यास 12 सेमी और ऊंचाई 15 सेमी है, आइसक्रीम से भरा है। आइसक्रीम को 12 सेमी ऊंचाई और 6 सेमी व्यास के शंकु में भरना है, जिसके शीर्ष पर एक गोलार्द्ध का आकार है। ऐसे शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिन्हें आइसक्रीम से भरा जा सकता है।

समाधान:

शंकुओं की संख्या होगी = बेलन का आयतन/आइसक्रीम कोन का आयतन

सिलेंडर भाग के लिए,

त्रिज्या = 12/2 = 6 सेमी

ऊँचाई = 15 सेमी

∴ बेलन का आयतन = π×r 2 ×h = 540π

बर्फ शंकु भाग के लिए,

शंक्वाकार भाग की त्रिज्या = 6/2 = 3 सेमी

ऊँचाई = 12 सेमी

अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या = 6/2 = 3 सेमी

अभी,

आइसक्रीम कोन का आयतन = शंक्वाकार भाग का आयतन + अर्धगोलाकार भाग का आयतन

= (⅓)×π×r 2 ×h+(⅔)×π×r 3

= 36π +18π

= 54π

∴ शंकुओं की संख्या = (540π/54π)

= 10

6. 5.5 सेमी × 10 सेमी × 3.5 सेमी आयाम वाले घनाभ बनाने के लिए 1.75 सेमी व्यास और 2 मिमी मोटाई के कितने चांदी के सिक्कों को पिघलाया जाना चाहिए?

समाधान:

यह ज्ञात है कि सिक्के आकार में बेलनाकार होते हैं।

अत: बेलन की ऊँचाई (h 1 ) = 2 मिमी = 0.2 सेमी

सिक्कों के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या (r) = 1.75/2 = 0.875 cm

अब, आवश्यक घनाभ बनाने के लिए पिघलाए जाने वाले सिक्कों की संख्या "n" होगी

अत: n सिक्कों का आयतन = घनाभों का आयतन

एन × π × आर 2 × एच 1 = एल × बी × एच

n×π×(0.875) 2 ×0.2 = 5.5×10×3.5

या, एन = 400

7. एक बेलनाकार बाल्टी, 32 सेमी ऊँची और आधार त्रिज्या 18 सेमी, रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को जमीन पर खाली कर दिया जाता है और रेत का शंक्वाकार ढेर बन जाता है। यदि शंक्वाकार ढेर की ऊँचाई 24 सेमी है, तो ढेर की त्रिज्या और तिरछी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आरेख इस प्रकार होगा-

दिया गया,

बाल्टी के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h 1 ) = 32 cm

बाल्टी के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या (r 1 ) = 18 cm

शंक्वाकार ढेर की ऊँचाई ((h 2 ) = 24 सेमी

अब, मान लीजिए "r 2 " शंक्वाकार ढेर के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या है।

हम जानते हैं कि बेलनाकार बाल्टी में रेत का आयतन शंक्वाकार ढेर में रेत के आयतन के बराबर होगा।

बेलनाकार बाल्टी में रेत का आयतन = शंक्वाकार ढेर में रेत का आयतन

π×r 1 2 ×h 1 = (⅓)×π×r 2 2 ×h 2

π×18 2 ×32 = (⅓)×π ×r 2 2 ×24

या, आर 2 = 36 सेमी

और,

तिरछी ऊंचाई (एल) = (36 2 +24 2 ) = 12√13 सेमी।

8. 6 मीटर चौड़ी और 1.5 मीटर गहरी एक नहर में पानी 10 किमी/घंटा की गति से बह रहा है। यदि 8 सेमी खड़े पानी की आवश्यकता है, तो 30 मिनट में यह कितने क्षेत्र की सिंचाई करेगा?

समाधान:

यह दिया गया है कि नहर एक घनाभ के आकार की है जिसके आयाम इस प्रकार हैं:

चौड़ाई (बी) = 6 मीटर और ऊंचाई (एच) = 1.5 मीटर

यह भी दिया गया है कि

नहर की गति = 10 किमी/घंटा

1 घंटे में तय की गई नहर की लंबाई = 10 किमी

60 मिनट में तय की गई नहर की लंबाई = 10 किमी

1 मिनट में बनी नहर की लंबाई = (1/60)x10 किमी

30 मिनट (l) में कवर की गई नहर की लंबाई = (30/60)x10 = 5km = 5000 m

हम जानते हैं कि नहर आकार में घनाकार है। इसलिए,

नहर का आयतन = lxbxh

= 5000x6x1.5 मीटर 3

= 45000 मीटर 3

अभी,

नहर में पानी का आयतन = सिंचित क्षेत्र का आयतन

= सिंचित क्षेत्र x ऊँचाई

अत: सिंचित क्षेत्रफल = 56.25 हेक्टेयर

नहर का आयतन = lxbxh

45000 = सिंचित क्षेत्रx8 सेमी

45000 = सिंचित क्षेत्र x (8/100)m

या, सिंचित क्षेत्र = 562500 मी 2 = 56.25 हेक्टेयर।

9. एक किसान अपने खेत में एक नहर से 20 सेमी आंतरिक व्यास के एक पाइप को बेलनाकार टैंक में जोड़ता है, जो 10 मीटर व्यास और 2 मीटर गहरा है। यदि पाइप से पानी 3 किमी/घंटा की दर से बहता है, तो टंकी कितने समय में भर जाएगी?

समाधान:

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें-

पाइप से t मिनट में बहने वाले पानी का आयतन = t×0.5π m 3

बेलनाकार टैंक के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या (r 2 ) =10/2 = 5 m

बेलनाकार टंकी की गहराई (h 2 ) = 2 m

टैंक को t मिनट में पूरी तरह से भरने दें।

टैंक में t मिनट में भरे गए पानी का आयतन पाइप से t मिनट में बहाए गए पानी के आयतन के बराबर है।

पाइप से t मिनट में बहने वाले पानी का आयतन = टैंक में पानी का आयतन

टी×0.5π = π×r 2 2 ×एच 2

या, टी = 100 मिनट

---

Exercise - 13.4 (पृष्ठ संख्या: 257)

1. एक पीने का गिलास एक शंकु के छिन्नक के आकार का है जिसकी ऊँचाई 14 cm है। इसके दो वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 सेमी और 2 सेमी हैं। कांच की क्षमता का पता लगाएं।

समाधान:

यहाँ,   = 2 सेमी,

 = 1 सेमी और   = 14 सेमी

 कांच की क्षमता = 

= 

= 

=  308 3 = 102 2 3 सी एम 3 3083=10223सेमी 3

2. एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है और इसके वृत्ताकार सिरों का परिमाप (परिधि) 18 सेमी और 6 सेमी है। छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया गया,

तिरछी ऊँचाई (l) = 4 सेमी

छिन्नक के ऊपरी वृत्ताकार सिरे की परिधि = 18 cm

2πr 1 = 18

या, आर 1 = 9/π

इसी प्रकार, छिन्नक के निचले सिरे की परिधि = 6 सेमी

2πr 2 = 6

या, आर 2 = 3/π

अब, छिन्नक का CSA = (r 1 +r 2 ) × l

= (9/π+3/π) × 4

= 12×4 = 48 सेमी 2

3. एक fez, तुर्क द्वारा इस्तेमाल की जाने वाली टोपी, एक शंकु के छिन्नक के आकार की होती है (चित्र देखें)। यदि खुले सिरे पर इसकी त्रिज्या 10 सेमी, ऊपरी आधार पर त्रिज्या 4 सेमी और तिरछी ऊँचाई 15 सेमी है, तो इसे बनाने में प्रयुक्त सामग्री का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया गया,

निचले वृत्ताकार सिरे के लिए त्रिज्या (r 1 ) = 10 cm

ऊपरी वृत्ताकार सिरे के लिए, त्रिज्या (r 2 ) = 4 cm

छिन्नक की तिरछी ऊँचाई (l) = 15 cm

अभी,

fez बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्री का क्षेत्रफल = छिन्नक का CSA + ऊपरी वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल

छिन्नक का सीएसए = π(r 1 +r 2 )×l

= 210π

तथा, ऊपरी वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल = r 2 2

= 16π

fez बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्री का क्षेत्रफल = 210π + 16π = (226 x 22)/7 = 710 2/7

प्रयुक्त सामग्री का क्षेत्रफल = 710 2/7 सेमी 2

4. ऊपर से खोला गया और धातु की शीट से बना एक कंटेनर, 16 सेमी ऊंचाई के शंकु के छिन्नक के रूप में है, जिसके निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्या क्रमशः 8 सेमी और 20 सेमी है। दूध की कीमत ज्ञात कीजिए जो कंटेनर को पूरी तरह से भर सकता है, रुपये की दर से। 20 प्रति लीटर। कंटेनर बनाने के लिए प्रयुक्त धातु शीट की लागत भी ज्ञात कीजिए, यदि इसकी कीमत रु। 8 प्रति 100 सेमी 2 ।

समाधान:

दिया गया,

आर 1 = 20 सेमी,

आर 2 = 8 सेमी और

एच = 16 सेमी

छिन्नक का आयतन = (⅓)×π×h(r 1 2 +r 2 2 +r 1 r 2 )

= 1/3 ×3.14 ×16((20) 2 +(8) 2 +(20)(8))

= 1/3 ×3.14 ×16(400 + 64 + 160) = 10449.92 सेमी 3 = 10.45 लीटर

यह दिया गया है कि दूध की दर = रु. 20/लीटर

अतः दूध का मूल्य = 20×छिद्र का आयतन

= 20 × 10.45

= रु. 209

अब, तिरछी ऊँचाई होगी

एल = 20 सेमी

अत: पात्र का CSA = (r 1 +r 2 )×l

= 1758.4 सेमी 2

अत: पात्र बनाने के लिए आवश्यक कुल धातु = 1758.4 + (निचले वृत्त का क्षेत्रफल) होगी।

= 1758.4+πr 2 = 1758.4+π(8) 2

= 1758.4+201 = 1959.4 सेमी 2

धातु की कुल लागत = रु. (8/100) × 1959.4 = रु. 157

5. एक धात्विक लम्ब वृत्तीय शंकु 20 सेमी ऊँचा और जिसका ऊर्ध्वाधर कोण 60° है, उसके आधार के समांतर एक समतल द्वारा उसकी ऊँचाई के मध्य में दो भागों में काटा जाता है। यदि इस प्रकार प्राप्त छिन्नक को 1/16 सेमी व्यास के तार में खींचा जाता है, तो तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आरेख इस प्रकार होगा

एईजी . पर विचार करें

छिन्नक के ऊपरी सिरे की त्रिज्या (r 1 ) = (10√3)/3 सेमी

कंटेनर के निचले सिरे की त्रिज्या (r 2 ) = (20√3)/3 सेमी

कंटेनर की ऊंचाई (r 3 ) = 10 सेमी

अभी,

छिन्नक का आयतन = (⅓)×π×h(r 1 2 +r 2 2 +r 1 r 2 )

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

छिन्नक का आयतन = 22000/9 सेमी 3

तार की त्रिज्या (r) = (1/16)×(½) = 1/32 सेमी

अभी,

माना तार की लंबाई "l" है।

तार का आयतन = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल x लंबाई

= (πr 2 ) xl

= π(1/32) 2 x l

अब, छिन्नक का आयतन = तार का आयतन

22000/9 = (22/7)x(1/32) 2 एक्स एल

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

एल = 7964.44 एम

---

Exercise - 13.5 (वैकल्पिक) (पृष्ठ संख्या: 258)

1. एक तांबे के तार, व्यास में 3 मिमी, एक सिलेंडर के चारों ओर घाव है जिसकी लंबाई 12 सेमी और व्यास 10 सेमी है, ताकि सिलेंडर की घुमावदार सतह को कवर किया जा सके। तांबे का घनत्व 8.88 ग्राम प्रति सेमी 3 मानकर तार की लंबाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए ।

समाधान:

मान लीजिये,

बेलन का व्यास = 10 सेमी

अत: बेलन की त्रिज्या (r) = 10/2 सेमी = 5 सेमी

पूरी तरह से एक चक्कर में तार की लंबाई = 2πr = 3.14×5 सेमी = 31.4 सेमी

दिया गया है कि तार का व्यास = 3 मिमी = 3/10 सेमी

एक चक्कर में ढके बेलन की मोटाई = 3/10 m

अत: तार के 12 सेमी की दूरी तय करने वाले फेरों (फेरों) की संख्या होगी-

अब, पूरी सतह को कवर करने के लिए आवश्यक तार की लंबाई = 40 चक्कर पूरे करने के लिए आवश्यक तार की लंबाई

40 x 31.4 सेमी = 1256 सेमी

तार की त्रिज्या = 0.3/2 = 0.15 सेमी

तार का आयतन = तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × तार की लंबाई

= (0.15) 2 ×1257.14

= 88.898 सेमी 3

हम जानते है,

द्रव्यमान = आयतन × घनत्व

= 88.898×8.88

= 789.41 ग्राम

2. एक समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी (कर्ण के अलावा) हैं, उसके कर्ण के चारों ओर चक्कर लगाने के लिए बनाया गया है। इस प्रकार बने दोहरे शंकु का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (जैसा उपयुक्त लगे का मान चुनें)

समाधान:

आरेख इस प्रकार बनाएं:

आइए हम एबीए . पर विचार करें

यहां,

एएस = 3 सेमी, एसी = 4 सेमी

अत: कर्ण BC = 5 cm

हमें एक ही आधार AA' पर 2 शंकु मिले हैं जहाँ त्रिज्या = DA या DA'

अब, AD/CA = AB/CB

CA, AB और CB का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

एडी = 2/5 सेमी

हम भी जानते हैं,

डीबी/एबी = एबी/सीबी

तो, डीबी = 9/5 सेमी

जैसे, सीडी = बीसी-डीबी,

सीडी = 16/5 सेमी

अब, दोहरे शंकु का आयतन होगा

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

वी = 30.14 सेमी 3

दोहरे शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा

= 52.75 सेमी 2

3. एक टंकी, जिसका आंतरिक माप 150 सेमी × 120 सेमी × 100 सेमी है, में 129600 सेमी 3 पानी है। झरझरा ईंटों को पानी में तब तक रखा जाता है जब तक कि टंकी पूरी तरह से भर न जाए। प्रत्येक ईंट पानी की अपनी मात्रा का सत्रहवां हिस्सा अवशोषित करती है। 22.5 सेमी × 7.5 सेमी × 6.5 सेमी की प्रत्येक ईंटों में कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं, जिनमें से प्रत्येक में पानी का अधिक बहाव न हो?

समाधान:

दिया गया है कि टंकी का आयाम = 150 × 120 × 110

अत: आयतन = 1980000 सेमी 3

टंकी में भरा जाने वाला आयतन = 1980000 - 129600

= 1850400 सेमी 3

अब, मान लीजिए कि रखी गई ईंटों की संख्या “n” है।

अतः, n ईंटों का आयतन होगा = n×22.5×7.5×6.5

अब चूंकि प्रत्येक ईंट अपने आयतन का सत्रहवाँ भाग अवशोषित कर लेती है, आयतन होगा

= n/(17)×(22.5×7.5×6.5)

प्रश्न में दी गई शर्त के लिए,

n ईंटों का आयतन n ईंटों द्वारा अवशोषित आयतन के बराबर होना चाहिए + टंकी में भरा जाने वाला आयतन

या, n×22.5×7.5×6.5 = 1850400+n/(17)×(22.5×7.5×6.5)

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

एन = 1792.41

4. किसी महीने के एक पखवाड़े में एक नदी घाटी में 10 सेमी वर्षा हुई। यदि घाटी का क्षेत्रफल 7280 किमी 2 है, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग 1072 किमी लंबी, 75 मीटर चौड़ी और 3 मीटर गहरी तीन नदियों के सामान्य जल के योग के बराबर थी।

समाधान:

प्रश्न से यह स्पष्ट है कि

3 नदियों का कुल आयतन = 3×[(नदी का सतही क्षेत्रफल)×गहराई]

दिया गया,

नदी का सतही क्षेत्रफल = [1072×(75/1000)] किमी

और,

गहराई = (3/1000) किमी

अब, 3 नदियों का आयतन = 3×[1072×(75/1000)]×(3/1000)

= 0.7236 किमी 3

अब, वर्षा का आयतन = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल × वर्षा की कुल ऊँचाई

= 0.7280 किमी 3

कुल वर्षा तीन नदियों के सामान्य जल के योग के लगभग बराबर थी, इसलिए वर्षा की मात्रा 3 नदियों के आयतन के बराबर होनी चाहिए।

लेकिन, 0.7280 किमी 3  = 0.7236 किमी 3

तो, प्रश्न कथन सत्य है।

5. टिन की शीट से बनी एक तेल कीप में एक शंकु के छिन्नक से जुड़ा एक 10 सेमी लंबा बेलनाकार भाग होता है। यदि कुल ऊंचाई 22 सेमी है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 सेमी है और फ़नल के शीर्ष का व्यास 18 सेमी है, तो फ़नल बनाने के लिए आवश्यक टिन शीट का क्षेत्रफल ज्ञात करें (चित्र देखें)।

समाधान:

दिया गया,

छिन्नक भाग के ऊपरी वृत्ताकार सिरे का व्यास = 18 cm

अत: त्रिज्या (r 1 ) = 9 सेमी

अब, छिन्नक (r 2 ) के निचले वृत्तीय सिरे की त्रिज्या बेलन के वृत्तीय सिरे की त्रिज्या के बराबर होगी

अतः, r 2 = 8/2 = 4 सेमी

अब, छिन्नक खंड की ऊँचाई (h 1 ) = 22 - 10 = 12 सेमी

और,

बेलनाकार खंड की ऊँचाई (h 2 ) = 10 सेमी (दिया गया)

अब, तिर्यक ऊँचाई होगी-

या, एल = 13 सेमी

आवश्यक टिन शीट का क्षेत्रफल = छिन्नक भाग का CSA + बेलनाकार भाग का CSA

= π(r 1 +r 2 )l+2πr 2 h 2

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

आवश्यक टिन शीट का क्षेत्रफल = 782 4/7 सेमी 2

6. एक शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए, जो कि आपको बताए गए प्रतीकों का उपयोग करके खंड 13.5 में दिया गया है।

समाधान:

आरेख पर विचार करें

माना ABC एक शंकु है। शंकु से छिन्नक DECB को उसके आधार के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है। यहाँ, r 1 और r 2 शंकु के छिन्नक सिरों की त्रिज्याएँ हैं और h छिन्नक की ऊँचाई है।

अब, ABG और ADF पर विचार करें,

यहां, डीएफ||बीजी

अत: ABG ~ ADF

अब, पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल छिन्नक के कुल CSA + ऊपरी वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल + निचले वृत्ताकार सिरे के क्षेत्रफल के बराबर होगा

= π(r 1 +r 2 )l+πr 2 2 +πr 1 2

छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल = π[(r 1 +r 2 )l+r 1 2 +r 2 2 ]

7. शंकु के छिन्नक के आयतन का सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।

समाधान:

पिछले प्रश्न के समान आरेख पर विचार करें।

अब, प्रश्न को पिछले वाले की तरह ही देखें और साबित करें कि

ABG ~ ADF

फिर से,

अब, उन्हें h और h 1 . के पदों में पुनर्व्यवस्थित करें

शंकु के छिन्नक का कुल आयतन होगा = शंकु ABC का आयतन - शंकु का आयतन ADE

= (⅓)πr 1 2 एच 1 -(⅓)πr 2 2 (एच 1 - एच)

= (π/3) [आर 1 2 एच 1 -आर 2 2 (एच 1 - एच)]

अब, इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

शंकु के छिन्नक का आयतन = (⅓)πh(r 1 2 +r 2 2 +r 1 r 2 )