NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 प्रायिकता

कक्षा 10 गणित अध्याय 15 के लिए एनसीईआरटी समाधान 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 प्रायिकता निस्संदेह सीबीएसई कक्षा 10 में पढ़ने वाले छात्रों के लिए एक आवश्यक अध्ययन सामग्री है। डाउनलोड करने योग्य पीडीएफ के साथ यहां दिए गए एनसीईआरटी समाधान छात्रों को उनकी सीबीएसई टर्म I परीक्षा के लिए प्रभावी ढंग से तैयार करने में मदद कर सकते हैं। अध्याय 9वीं कक्षा में अध्याय संभाव्यता में जो पढ़ाया गया था, उसकी निरंतरता है और इससे संबंधित विभिन्न अवधारणाओं की व्याख्या करता है।

विषय विशेषज्ञों ने छात्रों को उनकी पहली और दूसरी अवधि की परीक्षाओं की तैयारी में सहायता करने के लिए कक्षा 10 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान तैयार किया। समाधान को हल करने में उपयोग किए जाने वाले प्रत्येक चरण और अवधारणा को itselfu में दिए गए उत्तरों में स्पष्ट रूप से समझाया गया है, कोई भी प्रश्न अनसुलझा नहीं है। सत्रवार परीक्षा की तैयारी के साथ-साथ, इन समाधानों का उपयोग यह जांचने के लिए किया जा सकता है कि छात्रों द्वारा अपना होमवर्क और असाइनमेंट करते समय अभ्यास प्रश्नों के उत्तर सही हैं या नहीं। इसलिए, सभी छात्रों को सलाह दी जाती है कि वे नियमित रूप से इन एनसीईआरटी समाधानों के माध्यम से कक्षा में अन्य छात्रों के बीच खड़े हों और सीबीएसई टर्म I कक्षा 10 गणित परीक्षा में उत्कृष्टता प्राप्त करें।

गणित एनसीईआरटी कक्षा 10 के उत्तर अध्याय 15 - प्रायिकता

Exercise - 15.1 (पृष्ठ संख्या: 308)

1. निम्नलिखित कथनों को पूरा करें:

(i) किसी घटना E की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = ___________।

(ii) किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता __________ है। ऐसी घटना को ________ कहा जाता है।

(iii) एक निश्चित घटना की प्रायिकता _________ है। ऐसी घटना को _________ कहा जाता है।

(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग __________ है।

(v) किसी घटना की प्रायिकता ___ से अधिक या उसके बराबर और __________ से कम या बराबर होती है।

समाधान:

(i) किसी घटना E की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = 1 ।

(ii) किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता 0 है । ऐसी घटना को असंभव घटना कहा जाता है ।

(iii) किसी घटना के घटित होने की निश्चित प्रायिकता 1 है । ऐसी घटना को निश्चित या निश्चित घटना कहते हैं ।

(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है ।

(v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से अधिक या उसके बराबर और 1 से कम या उसके बराबर है ।

2. निम्नलिखित में से किस प्रयोग के परिणाम समान रूप से संभावित हैं? समझाना।

(i) एक ड्राइवर कार स्टार्ट करने का प्रयास करता है। कार स्टार्ट होती है या स्टार्ट नहीं होती है।

(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को शूट करने का प्रयास करता है। वह / वह गोली मारता है या शॉट चूक जाता है।

(iii) समाधान के लिए एक परीक्षण किया जाता है: एक सही-गलत प्रश्न। समाधान: सही है या गलत।

(iv) एक बच्चा पैदा होता है। यह लड़का है या लड़की।

समाधान:

(i) इस कथन के समान रूप से संभावित परिणाम नहीं हैं क्योंकि कार ईंधन आदि जैसे विभिन्न कारकों के आधार पर शुरू हो सकती है या नहीं।

(ii) यहां तक ​​कि इस कथन के भी समान रूप से संभावित परिणाम नहीं हैं क्योंकि खिलाड़ी शॉट को शूट या मिस कर सकता है।

(iii) इस कथन के समान रूप से संभावित परिणाम हैं क्योंकि यह ज्ञात है कि समाधान या तो सही है या गलत।

(iv) इस कथन के भी समान रूप से संभावित परिणाम हैं क्योंकि यह ज्ञात है कि नवजात शिशु लड़का या लड़की हो सकता है।

3. एक फुटबॉल खेल की शुरुआत में किस टीम को गेंद मिलनी चाहिए, यह तय करने का एक उचित तरीका एक सिक्का उछालना क्यों माना जाता है?

समाधान:

एक सिक्के को उछालना निर्णय लेने का एक उचित तरीका है क्योंकि संभावित परिणामों की संख्या केवल 2 है अर्थात या तो चित या पट। चूंकि ये दोनों परिणाम समान रूप से संभावित परिणाम हैं, इसलिए उछालना अप्रत्याशित है और इसे पूरी तरह से निष्पक्ष माना जाता है।

4. निम्नलिखित में से कौन एक घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है?

(ए) 2/3 (बी) -1.5 (सी) 15% (डी) 0.7

समाधान:

किसी भी घटना (E) की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है अर्थात 0 P(E) ≤ 1. इसलिए, उपरोक्त विकल्पों में से, विकल्प (B) -1.5 किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकता है।

5. यदि P(E) = 0.05, 'नहीं E' की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

हम जानते हैं कि,

पी (ई) + पी (ई नहीं) = 1

यह दिया गया है कि, P(E) = 0.05

तो, पी (ई नहीं) = 1-पी (ई)

या, पी(ई नहीं) = 1-0.05

∴ पी (ई नहीं) = 0.95

6. एक बैग में केवल नींबू के स्वाद वाली कैंडी होती है। मालिनी बैग में देखे बिना एक कैंडी निकालती है। उसके द्वारा निकाले जाने की प्रायिकता क्या है?

(i) संतरे के स्वाद वाली कैंडी?

(ii) नींबू के स्वाद वाली कैंडी?

समाधान:

(i) हम जानते हैं कि बैग में केवल नींबू के स्वाद वाली कैंडीज हैं।

तो, नहीं. संतरे के स्वाद वाली कैंडीज = 0

संतरे के स्वाद वाली कैंडी निकालने की प्रायिकता = 0/1 = 0

(ii) चूंकि केवल नींबू के स्वाद वाली कैंडीज हैं, P(नींबू के स्वाद वाली कैंडीज) = 1 (या 100%)

7. यह दिया गया है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में 2 विद्यार्थियों के एक ही जन्मदिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। क्या प्रायिकता है कि 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही हो?

समाधान:

माना वह घटना जिसमें 2 छात्रों का जन्मदिन एक ही है E

दिया गया है, P(E) = 0.992

हम जानते है,

पी (ई) + पी (ई नहीं) = 1

या, पी(ई नहीं) = 1-0.992 = 0.008

प्रायिकता कि 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही है 0.008

8. एक थैले में 3 लाल गेंदें और 5 काली गेंदें हैं। बैग से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद है

(मैं लाल?

(ii) लाल नहीं?

समाधान:

गेंदों की कुल संख्या = लाल गेंदों की संख्या + काली गेंदों की संख्या

तो, कुल नं। गेंदों का = 5+3 = 8

हम जानते हैं कि किसी घटना की प्रायिकता संख्या के बीच का अनुपात है। अनुकूल परिणामों की और परिणामों की कुल संख्या।

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) लाल गेंदों को निकालने की प्रायिकता = P (लाल गेंदें) = (लाल गेंदों की संख्या / गेंदों की कुल संख्या) = 3/8

(ii) काली गेंदों को निकालने की प्रायिकता = P (काली गेंद) = (काली गेंदों की संख्या / गेंदों की कुल संख्या) = 5/8

9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। बॉक्स में से एक मार्बल यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया मार्बल होगा

(मैं लाल?

(ii) सफेद?

(iii) हरा नहीं?

समाधान:

कुल संख्या गेंदों का = 5+8+4 = 17

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) लाल गेंदों की कुल संख्या = 5

पी (लाल गेंद) = 5/17 = 0.29

(ii) सफेद गेंदों की कुल संख्या = 8

पी (सफेद गेंद) = 8/17 = 0.47

(iii) हरी गेंदों की कुल संख्या = 4

पी (हरी गेंद) = 4/17 = 0.23

∴ पी (हरा नहीं) = 1-पी (हरी गेंद) = 1-(4/7) = 0.77

10. एक गुल्लक में सौ 50p सिक्के, पचास ₹1 सिक्के, बीस ₹2 सिक्के और दस ₹5 सिक्के हैं। यदि यह समान रूप से संभावना है कि बैंक को उल्टा करने पर सिक्कों में से एक गिर जाएगा, तो क्या संभावना है कि सिक्का

(i) 50 पैसे का सिक्का होगा?

(ii) ₹5 का सिक्का नहीं होगा?

समाधान:

कुल संख्या सिक्कों का = 100+50+20+10 = 180

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) 50 p के सिक्कों की कुल संख्या = 100

पी (50 पी सिक्का) = 100/180 = 5/9 = 0.55

(ii) ₹5 के सिक्कों की कुल संख्या = 10

पी (₹5 का सिक्का) = 10/180 = 1/18 = 0.055

∴ P (₹5 का सिक्का नहीं) = 1-P (₹5 का सिक्का) = 1-0.055 = 0.945

11. गोपी अपने एक्वेरियम के लिए एक दुकान से मछली खरीदता है। दुकानदार 5 नर मछलियों और 8 मादा मछलियों वाले टैंक से यादृच्छया एक मछली निकालता है (देखिए आकृति 15.4)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

समाधान:

टैंक में मछलियों की कुल संख्या = 5+8 = 13

नर मछलियों की कुल संख्या = 5

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

पी (नर मछली) = 5/13 = 0.38

12. संयोग के खेल में एक तीर को घुमाना शामिल है जो एक संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 की ओर इशारा करते हुए विरामावस्था में आता है (देखिए आकृति 15.5), और ये समान रूप से संभावित परिणाम हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पर इंगित करेगा?

(मैं) 8?

(ii) एक विषम संख्या?

(iii) 2 से बड़ी संख्या?

(iv) 9 से छोटी संख्या?

समाधान:

संभावित परिणामों की कुल संख्या = 8

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) अनुकूल घटनाओं की कुल संख्या (यानी 8) = 1

∴ P (8 की ओर इशारा करते हुए) = = 0.125

(ii) विषम संख्याओं की कुल संख्या = 4 (1, 3, 5 और 7)

P (विषम संख्या की ओर इशारा करते हुए) = 4/8 = ½ = 0.5

(iii) 2 = 6 से बड़ी कुल संख्याएँ (3, 4, 5, 6, 7 और 8)

पी (4 से बड़ी संख्या की ओर इशारा करते हुए) = 6/8 = = 0.75

(iv) 9 से कम की कुल संख्याएँ = 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, और 8)

P (9 से छोटी संख्या की ओर इशारा करते हुए) = 8/8 = 1

13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

(i) एक अभाज्य संख्या;

(ii) 2 और 6 के बीच की कोई संख्या;

(iii) एक विषम संख्या।

समाधान:

एक पासे को फेंकने पर कुल संभावित घटनाएँ = 6 (1, 2, 3, 4, 5 और 6)

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) अभाज्य संख्याओं की कुल संख्या = 3 (2, 3 और 5)

P (अभाज्य संख्या प्राप्त करना) = 3/6 = ½ = 0.5

(ii) 2 और 6 के बीच की कुल संख्या = 3 (3, 4 और 5)

P (2 और 6 के बीच की संख्या प्राप्त करना) = 3/6 = ½ = 0.5

(iii) विषम संख्याओं की कुल संख्या = 3 (1, 3 और 5)

P (विषम संख्या प्राप्त करना) = 3/6 = ½ = 0.5

14. 52 ताश के पत्तों के एक डेक में से एक पत्ता निकाला जाता है। प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

(i) लाल रंग का राजा

(ii) एक फेस कार्ड

(iii) एक लाल चेहरा कार्ड

(iv) दिलों का जैक

(v) एक कुदाल

(vi) हीरे की रानी

समाधान:

संभावित परिणामों की कुल संख्या = 52

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) लाल रंग के राजा की कुल संख्या = 2

P (लाल रंग का राजा प्राप्त करना) = 2/52 = 1/26 = 0.038

(ii) फेस कार्ड की कुल संख्या = 12

पी (फेस कार्ड प्राप्त करना) = 12/52 = 3/13 = 0.23

(iii) लाल फ़ेस कार्डों की कुल संख्या = 6

P (लाल रंग का राजा प्राप्त करना) = 6/52 = 3/26 = 0.11

(iv) जैक ऑफ हार्ट्स की कुल संख्या = 1

P (लाल रंग का राजा प्राप्त करना) = 1/52 = 0.019

(v) कुदाल के राजा की कुल संख्या = 13

P (लाल रंग का राजा प्राप्त करना) = 13/52 = = 0.25

(vi) हीरों की रानी की कुल संख्या = 1

P (लाल रंग का राजा प्राप्त करना) = 1/52 = 0.019

15. पांच पत्ते दस, जैक, रानी, ​​राजा और हीरे के इक्का, उनके चेहरे नीचे की ओर अच्छी तरह से फेरबदल कर रहे हैं। एक कार्ड फिर यादृच्छिक रूप से उठाया जाता है।

(i) कार्ड के रानी होने की क्या प्रायिकता है?

(ii) यदि रानी को खींचा जाता है और एक तरफ रख दिया जाता है, तो क्या संभावना है कि दूसरा कार्ड उठाया गया है (ए) एक इक्का? (बी) एक रानी?

समाधान:

कार्डों की कुल संख्या = 5

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) रानी की संख्या = 1

P (रानी चुनना) = = 0.2

(ii) यदि रानी को खींचकर एक तरफ रख दिया जाए, तो बचे हुए पत्तों की कुल संख्या (5-4) = 4 . है

(ए) इक्के की कुल संख्या = 1

P (एक इक्का चुनना) = ¼ = 0.25

(बी) रानी की कुल संख्या = 0

पी (रानी चुनना) = 0/4 = 0

16. 12 खराब पेन गलती से 132 अच्छे पेन के साथ मिल जाते हैं। सिर्फ एक पेन को देखकर यह बताना संभव नहीं है कि वह खराब है या नहीं। इस लॉट में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पेन अच्छा है।

समाधान:

कलमों की संख्या = दोषपूर्ण कलमों की संख्या + अच्छे कलमों की संख्या

∴ कलमों की कुल संख्या = 132+12 = 144 कलम

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

P(एक अच्छा पेन चुनना) = 132/144 = 11/12 = 0.916

17. (i) बहुत से 20 बल्बों में 4 खराब हैं। लॉट में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इस बल्ब के खराब होने की क्या प्रायिकता है?

(ii) मान लीजिए कि (i) में खींचा गया बल्ब खराब नहीं है और उसे बदला नहीं गया है। अब एक बल्ब शेष से यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब न हो?

समाधान:

(i) खराब बल्बों की संख्या = 4

बल्बों की कुल संख्या = 20

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

खराब बल्ब मिलने की प्रायिकता = P (दोषपूर्ण बल्ब) = 4/20 = = 0.2

(ii) चूँकि 1 गैर-दोषपूर्ण बल्ब निकाला जाता है, तो बचे हुए बल्बों की कुल संख्या 19 . है

तो, घटनाओं की कुल संख्या (या परिणाम) = 19

गैर-दोषपूर्ण बल्बों की संख्या = 19-4 = 15

अतः, बल्ब के खराब न होने की प्रायिकता = 15/19 = 0.789

18. एक बॉक्स में 90 डिस्क हैं, जिनकी संख्या 1 से 90 तक है। यदि बॉक्स में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है, तो उस पर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

(i) दो अंकों की संख्या

(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या

(iii) 5 से विभाज्य संख्या

समाधान:

डिस्क की कुल संख्या = 90

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) दो अंकों की संख्या वाली डिस्क की कुल संख्या = 81

(चूंकि 1 से 9 एकल अंकों की संख्याएं हैं और इसलिए, कुल 2 अंकों की संख्याएं 90-9 = 81 हैं)

P (दो अंकों की संख्या वाला) = 81/90 = 9/10 = 0.9

(ii) पूर्ण वर्ग संख्याओं की कुल संख्या = 9 (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 और 81)

P (पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करना) = 9/90 = 1/10 = 0.1

(iii) कुल संख्याएं जो 5 = 18 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 और 90) से विभाज्य हैं।

P (5 से विभाज्य संख्या प्राप्त करना) = 18/90 = = 0.2

19. एक बच्चे के पास एक पासा है जिसके छह चेहरे नीचे दिए गए अक्षरों को दर्शाते हैं:

मरने को एक बार फेंक दिया जाता है। प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है

(मैं एक?

(ii) डी?

समाधान:

संभावित परिणामों (या घटनाओं) की कुल संख्या = 6

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) उस पर A वाले फलकों की कुल संख्या = 2

पी (ए प्राप्त करना) = 2/6 = = 0.33

(ii) उस पर D वाले फलकों की कुल संख्या = 1

P (D प्राप्त करना) = = 0.166

20. मान लीजिए कि आप आकृति 15.6 में दर्शाए गए आयताकार क्षेत्र पर एक पासे को यादृच्छिक रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 1m व्यास वाले वृत्त के भीतर उतरेगा?

समाधान:

सबसे पहले, आयत के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करें। यहाँ, आयत का क्षेत्रफल संभावित परिणाम है और वृत्त का क्षेत्रफल अनुकूल परिणाम होगा।

अत: आयत का क्षेत्रफल = (3×2) m 2 = 6 m 2

तथा,

वृत्त का क्षेत्रफल = πr 2 = (½) 2 m 2 = π/4 m 2 = 0.78

मरने की प्रायिकता वृत्त के अंदर आ जाएगी = [(π/4)/6] = /24 या, 0.78/6 = 0.13

21. 144 बॉल पेन के ढेर में 20 खराब हैं और अन्य अच्छे हैं। नूरी अच्छा होने पर कलम खरीदेगी, लेकिन खराब होने पर वह नहीं खरीदेगी। दुकानदार यादृच्छया एक पेन निकालता है और उसे देता है। क्या संभावना है कि

(i) वह इसे खरीद लेगी?

(ii) वह इसे नहीं खरीदेगी?

समाधान:

परिणामों की कुल संख्या यानी पेन = 144

दिया गया है, दोषपूर्ण पेनों की संख्या = 20

दोषपूर्ण पेनों की संख्या = 144-20 = 124

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) कुल संख्या घटनाएँ जिनमें वह उन्हें खरीदेगी = 124

तो, पी (खरीदना) = 124/144 = 31/36 = 0.86

(ii) कुल संख्या घटनाएँ जिनमें वह उन्हें नहीं खरीदेगी = 20

तो, पी (खरीदारी नहीं) = 20/144 = 5/36 = 0.138

22. उदाहरण 13 का संदर्भ लें। (i) निम्नलिखित तालिका को पूरा करें:

(ii) एक छात्र का तर्क है कि '11 संभावित परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। इसलिए, उनमें से प्रत्येक की संभावना 1/11 है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? अपने समाधान का औचित्य साबित करें:।

समाधान:

यदि 2 पासे फेंके जाते हैं, तो संभावित घटनाएँ हैं:

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

तो, घटनाओं की कुल संख्या: 6×6 = 36

(i) यह दिया गया है कि योग को 2 के रूप में प्राप्त करने की संभावना 1/36 है क्योंकि एकमात्र संभावित परिणाम = (1,1)

योग को 3 के रूप में प्राप्त करने के लिए, संभावित घटनाएँ (या परिणाम) = E (योग 3) = (1,2) और (2,1)

तो, P(योग 3) = 2/36

इसी तरह,

ई (योग 4) = (1,3), (3,1), और (2,2)

तो, पी (योग 4) = 3/36

ई (योग 5) = (1,4), (4,1), (2,3), और (3,2)

तो, पी (योग 5) = 4/36

ई (योग 6) = (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), और (3,3)

तो, पी (योग 6) = 5/36

ई (योग 7) = (1,6), (6,1), (5,2), (2,5), (4,3), और (3,4)

तो, पी (योग 7) = 6/36

ई (योग 8) = (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), और (4,4)

तो, पी (योग 8) = 5/36

ई (योग 9) = (3,6), (6,3), (4,5), और (5,4)

तो, पी (योग 9) = 4/36

ई (योग 10) = (4,6), (6,4), और (5,5)

तो, पी (योग 10) = 3/36

ई (योग 11) = (5,6), और (6,5)

तो, पी (योग 11) = 2/36

ई (योग 12) = (6,6)

तो, पी (योग 12) = 1/36

तो, तालिका इस प्रकार होगी:

आयोजन: 2 पासे पर योग	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1 1	12
संभावना	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

(ii) तर्क सही नहीं है क्योंकि यह (i) में पहले से ही उचित है कि सभी संभावित परिणामों की संख्या 36 है न कि 11।

23. एक खेल में एक रुपये के सिक्के को 3 बार उछाला जाता है और हर बार उसके परिणाम को नोट किया जाता है। हनीफ जीत जाता है यदि सभी टॉस समान परिणाम देते हैं, अर्थात तीन चित या तीन टेल, और अन्यथा हार जाता है। हनीफ के हारने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।

समाधान:

परिणामों की कुल संख्या = 8 (HHH, HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT, TTT)

कुल परिणाम जिसमें हनीफ खेल हारेगा = 6 (HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT)

पी (खेल हारना) = 6/8 = ¾ = 0.75

24. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। क्या संभावना है कि

(i) 5 दोनों बार नहीं आएगा?

(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?

[संकेत: एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है]

समाधान:

परिणाम हैं:

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

तो, परिणामों की कुल संख्या = 6×6 = 36

(i) विधि 1:

निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें।

A = 5 पहले थ्रो में आता है,

बी = 5 दूसरे थ्रो में आता है

पी (ए) = 6/36,

पी (बी) = 6/36 और

पी (बी नहीं) = 5/6

तो, P(नहीं A) = 1-(6/36) = 5/6

अभीष्ट प्रायिकता = (5/6)×(5/6) = 25/36

विधि 2:

मान लीजिए E वह घटना है जिसमें किसी भी समय 5 नहीं आता है।

तो, अनुकूल परिणाम हैं [36–(5+6)] = 25

∴ पी(ई) = 25/36

(ii) घटनाओं की संख्या जब 5 कम से कम एक बार आए = 11(5+6)

अभीष्ट प्रायिकता = 11/36

25. निम्नलिखित में से कौन सा तर्क सही है और कौन सा सही नहीं है? अपने समाधान के लिए कारण दें:।

(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है तो तीन संभावित परिणाम प्राप्त होते हैं- दो चित, दो पट या प्रत्येक में से एक। इसलिए, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/3 . है

(ii) यदि पासे को फेंका जाता है, तो दो संभावित परिणाम होते हैं- एक विषम संख्या या एक सम संख्या। अत: एक विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता 1/2 . है

समाधान:

(i) सभी संभावित घटनाएँ हैं (H,H); (एच, टी); (टी, एच) और (टी, टी)

अत: P (दो चित प्राप्त करना) =

और, P (प्रत्येक में से एक प्राप्त करना) = 2/4 = ½

यह कथन गलत है।

(ii) चूँकि दोनों परिणाम समान रूप से सम्भाव्य हैं, यह कथन सही है।

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Exercise -  15.2 (पृष्ठ संख्या: 311)

1. दो ग्राहक श्याम और एकता एक ही सप्ताह (मंगलवार से शनिवार) में एक विशेष दुकान पर जा रहे हैं। प्रत्येक के किसी अन्य दिन की तरह किसी भी दिन दुकान पर जाने की समान रूप से संभावना है। क्या संभावना है कि दोनों दुकान पर आएंगे

(i) उसी दिन?

(ii) लगातार दिन?

(iii) अलग-अलग दिन?

समाधान:

चूँकि 5 दिन हैं और दोनों 5 तरीकों से दुकान पर जा सकते हैं, इसलिए,

संभावित परिणामों की कुल संख्या = 5×5 = 25

(i) अनुकूल घटनाओं की संख्या = 5 (मंगल।, मंगल।), (बुध।, बुध।), (गुरु।, गुरु।), (शुक्र, शुक्र।), (शनि।, शनि।)

तो, P (दोनों एक ही दिन आ रहे हैं) = 5/25 =

(ii) अनुकूल घटनाओं की संख्या = 8 (मंगल।, बुध।), (बुध।, गुरु।), (गुरु, शुक्र।), (शुक्र, शनि।), (शनि।, शुक्र।), (शुक्र।, गुरु।), (गुरु।, बुध।), और (बुध।, मंगल।)

तो, P(दोनों लगातार दिनों में आते हैं) = 8/25

(iii) P (दोनों अलग-अलग दिनों में आते हैं) = 1-P (दोनों एक ही दिन आते हैं)

तो, P (दोनों अलग-अलग दिनों में आते हैं) = 1-(⅕) =

2. एक पासे की संख्या इस प्रकार दी गई है कि उसके फलकों पर 1, 2, 2, 3, 3, 6 संख्याएँ दिखाई देती हैं। इसे दो बार फेंका जाता है और दो बार फेंकने पर कुल अंक नोट किया जाता है। निम्नलिखित तालिका को पूरा करें जो दो थ्रो पर कुल स्कोर के कुछ मान देती है:

क्या संभावना है कि कुल स्कोर है

(मैं भी?

(ii) 6?

(iii) कम से कम 6?

समाधान:

तालिका इस प्रकार होगी:

+	1	2	2	3	3	6
1	2	3	3	4	4	7
2	3	4	4	5	5	8
2	3	4	4	5	5	8
3	4	5	5	6	6	9
3	4	5	5	6	6	9
6	7	8	8	9	9	12

तो, परिणामों की कुल संख्या = 6×6 = 36

(i) ई (सम) = 18

पी (सम) = 18/36 = ½

(ii) ई (योग 6 है) = 4

पी (योग 6 है) = 4/36 = 1/9

(iii) ई (योग कम से कम 6) = 15

पी (योग कम से कम 6 है) = 15/36 = 5/12

3. एक थैले में 5 लाल गेंदें और कुछ नीली गेंदें हैं। यदि एक नीली गेंद निकालने की प्रायिकता

लाल गेंद से दोगुना है, बैग में नीली गेंदों की संख्या निर्धारित करें।

समाधान:

यह दिया गया है कि लाल गेंदों की कुल संख्या = 5

माना नीली गेंदों की कुल संख्या = x

तो, कुल नं। गेंदों का = x+5

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

∴ P (नीली गेंद खींचना) = [x/(x+5)] ——–(i)

इसी तरह,

P (लाल गेंद खींचना) = [5/(x+5)] ——–(i)

समीकरण (i) और (ii) से

एक्स = 10

अत: नीली गेंदों की कुल संख्या = 10

4. एक डिब्बे में 12 गेंदें हैं जिनमें से x काली हैं। यदि एक गेंद यादृच्छिक रूप से से निकाली जाती है

बॉक्स में, इसकी क्या प्रायिकता है कि यह एक काली गेंद होगी?

यदि बॉक्स में 6 और काली गेंदें डाल दी जाती हैं, तो अब एक काली गेंद निकलने की प्रायिकता है

पहले की तुलना में दोगुना। एक्स खोजें

समाधान:

काली गेंदों की कुल संख्या = x

गेंदों की कुल संख्या = 12

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

P (काली गेंदें प्राप्त करना) = x/12 ———————(i)

अब, जब 6 और काली गेंदें जोड़ी जाती हैं,

कुल गेंदें = 18

∴ काली गेंदों की कुल संख्या = x+6

अब, P (काली गेंद प्राप्त करना) = (x+6)/18 ———————(ii)

यह दिया गया है कि, अब एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहले की तुलना में दोगुनी है

(ii) = 2 × (i)

(x+6)/18 = 2 × (x/12)

एक्स + 6 = 3x

2x = 6

एक्स = 3

5. एक जार में 24 कंचे हैं, कुछ हरे हैं और अन्य नीले हैं। यदि एक संगमरमर को पर खींचा जाता है

जार से यादृच्छिक रूप से, इसके हरे होने की प्रायिकता है। नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए

डब्बे में।

समाधान:

कुल कंचे = 24

माना कुल हरे कंचे = x

तो, कुल नीले कंचे = 24-x

P(हरा मार्बल प्राप्त करना) = x/24

प्रश्न से, x/24 =

अत: कुल हरे कंचे = 16

और, कुल नीले कंचे = 24-16 = 8