कक्षा 10 गणित अध्याय 14 के लिए एनसीईआरटी समाधान
एनसीईआरटी सॉल्यूशंस फॉर क्लास 10 मैथ्स चैप्टर 14 स्टैटिस्टिक्स यहां दिए गए हैं, जिन्हें पीडीएफ फॉर्मेट में मुफ्त में डाउनलोड किया जा सकता है। समाधान हमारे विशेषज्ञों द्वारा तैयार किए गए हैं जिन्होंने गणित में अपनी विशेषज्ञता हासिल की है। सांख्यिकी के सभी हल किए गए प्रश्न सीबीएसई टर्म-वाइज पाठ्यक्रम और दिशानिर्देशों के नवीनतम अपडेट के संबंध में हैं, ताकि छात्रों को प्रत्येक अभ्यास प्रश्न को हल करने और सीबीएसई टर्म II परीक्षा की तैयारी में मदद मिल सके। इन समाधानों को संदर्भ उपकरण के रूप में उपयोग करने से छात्रों को अच्छे अंक प्राप्त करने में मदद मिलेगी। छात्र सभी अध्यायों में कक्षा 10 गणित के लिए अभ्यास-वार समाधान भी प्राप्त कर सकते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं।
गणित एनसीईआरटी कक्षा 10 के उत्तर अध्याय 14 - सांख्यिकी
Exercise - 14.1 पृष्ठ: 270
1. छात्रों के एक समूह द्वारा उनके पर्यावरण जागरूकता कार्यक्रम के एक भाग के रूप में एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक इलाके में 20 घरों में पौधों की संख्या के संबंध में निम्नलिखित डेटा एकत्र किया। प्रति घर पौधों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।
| पौधों की संख्या | 0-2 | 2-4 | 4-6 | 6-8 | 8-10 | 10-12 | 12-14 |
| घरों की संख्या | 1 | 2 | 1 | 5 | 6 | 2 | 3 |
माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?
समाधान:
माध्य मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करेंगे क्योंकि f और x के संख्यात्मक मान छोटे हैं ।
सूत्र की सहायता से दिए गए अंतराल का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।
मध्यबिंदु (x i ) = (ऊपरी सीमा + निचली सीमा)/2
| पौधों की संख्या (कक्षा अन्तराल) | घरों की संख्या आवृत्ति (एफ मैं ) | मध्य-बिंदु (x i ) | एफ आई एक्स आई |
| 0-2 | 1 | 1 | 1 |
| 2-4 | 2 | 3 | 6 |
| 4-6 | 1 | 5 | 5 |
| 6-8 | 5 | 7 | 35 |
| 8-10 | 6 | 9 | 54 |
| 10-12 | 2 | 1 1 | 22 |
| 12-14 | 3 | 13 | 39 |
| योग च मैं = 20 | योग च मैं x मैं = 162 |
माध्य ज्ञात करने का सूत्र है:
माध्य = x̄ = f i x i /∑f i
= 162/20
= 8.1 इसलिए, प्रति घर पौधों की औसत संख्या 8.1 . है
2. एक कारखाने के 50 श्रमिकों के दैनिक वेतन के निम्नलिखित वितरण पर विचार कीजिए।
| दैनिक मजदूरी (रुपये में) | 100-120 | 120-140 | 140-160 | 160-180 | 180-200 |
| श्रमिकों की संख्या | 12 | 14 | 8 | 6 | 10 |
एक उपयुक्त विधि का उपयोग करके कारखाने के श्रमिकों की औसत दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए ।
समाधान:
सूत्र की सहायता से दिए गए अंतराल का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।
मध्यबिंदु (x i ) = (ऊपरी सीमा + निचली सीमा)/2
इस स्थिति में, मध्य-बिंदु (x i ) का मान बहुत बड़ा है, इसलिए मान लें कि माध्य मान, A = 150 और वर्ग अंतराल h = 20 है।
तो, u i = (x i – A)/h = u i = (x i – 150)/20
प्रतिस्थापित करें और मानों को निम्नानुसार खोजें:
| दैनिक मज़दूरी (कक्षा अन्तराल) | श्रमिकों की संख्या आवृत्ति (एफ मैं ) | मध्य-बिंदु (x i ) | यू मैं = (एक्स मैं - 150) / 20 | एफ मैं तुम मैं |
| 100-120 | 12 | 110 | -2 | -24 |
| 120-140 | 14 | 130 | -1 | -14 |
| 140-160 | 8 | 150 | 0 | 0 |
| 160-180 | 6 | 170 | 1 | 6 |
| 180-200 | 10 | 190 | 2 | 20 |
| संपूर्ण | योग च मैं = 50 | योग च मैं आप मैं = -12 |
तो, माध्य ज्ञात करने का सूत्र है:
माध्य = x̄ = A + h∑f i u i /∑f i =150 + (20 × -12/50) = 150 - 4.8 = 145.20
इस प्रकार, श्रमिकों का औसत दैनिक वेतन = रु। 145.20
3. निम्नलिखित वितरण एक इलाके के बच्चों के दैनिक जेब भत्ते को दर्शाता है। औसत जेब भत्ता 18 रुपये है। लापता आवृत्ति एफ खोजें।
| दैनिक पॉकेट भत्ता (सी में) | 11-13 | 13-15 | 15-17 | 17-19 | 19-21 | 21-23 | 23-35 |
| बच्चों की संख्या | 7 | 6 | 9 | 13 | एफ | 5 | 4 |
समाधान:
लुप्त आवृत्ति ज्ञात करने के लिए माध्य सूत्र का प्रयोग कीजिए।
यहाँ, मध्य-बिंदु (x i ) का मान x̄ = 18 . है
| कक्षा अन्तराल | बच्चों की संख्या (च मैं ) | मध्य-बिंदु (x i ) | एफ आई एक्स आई |
| 11-13 | 7 | 12 | 84 |
| 13-15 | 6 | 14 | 84 |
| 15-17 | 9 | 16 | 144 |
| 17-19 | 13 | 18 = ए | 234 |
| 19-21 | एफ | 20 | 20f |
| 21-23 | 5 | 22 | 110 |
| 23-25 | 4 | 24 | 96 |
| संपूर्ण | च मैं = 44+f | योग च मैं x मैं = 752+20f |
माध्य सूत्र है
माध्य = x̄ = f i x i /∑f i = (752+20f)/(44+f)
अब मानों को प्रतिस्थापित करें और लापता आवृत्ति (f) को खोजने के लिए समान करें
⇒ 18 = (752+20f)/(44+f)
⇒ 18(44+f) = (752+20f)
⇒ 792+18f = 752+20f
⇒ 792+18f = 752+20f
⇒ 792 - 752 = 20f - 18f
40 = 2f
⇒ एफ = 20
अत: लुप्त आवृत्ति f = 20 है।
4. एक डॉक्टर द्वारा अस्पताल में तीस महिलाओं की जांच की गई और प्रति मिनट दिल की धड़कन की संख्या दर्ज की गई और संक्षेप में प्रस्तुत किया गया। एक उपयुक्त विधि का चयन करते हुए, इन महिलाओं के लिए प्रति मिनट औसत दिल की धड़कन का पता लगाएं।
| प्रति मिनट दिल की धड़कन की संख्या | 65-68 | 68-71 | 71-74 | 74-77 | 77-80 | 80-83 | 83-86 |
| महिलाओं की संख्या | 2 | 4 | 3 | 8 | 7 | 4 | 2 |
समाधान:
दिए गए आँकड़ों से, मान लेते हैं कि माध्य A = 75.5 . है
x i = (ऊपरी सीमा + निचली सीमा)/2
वर्ग आकार (एच) = 3
अब, u i और f i u i को निम्नानुसार खोजें:
| कक्षा अन्तराल | महिलाओं की संख्या (च मैं ) | मध्य-बिंदु (x i ) | यू मैं = (एक्स मैं - 75.5)/एच | एफ मैं तुम मैं |
| 65-68 | 2 | 66.5 | -3 | -6 |
| 68-71 | 4 | 69.5 | -2 | -8 |
| 71-74 | 3 | 72.5 | -1 | -3 |
| 74-77 | 8 | 75.5 | 0 | 0 |
| 77-80 | 7 | 78.5 | 1 | 7 |
| 80-83 | 4 | 81.5 | 3 | 8 |
| 83-86 | 2 | 84.5 | 3 | 6 |
| योग च मैं = 30 | योग च मैं यू मैं = 4 |
माध्य = x̄ = A + h∑f i u i /∑f i
= 75.5 + 3×(4/30)
= 75.5 + 4/10
= 75.5 + 0.4
= 75.9
इसलिए, इन महिलाओं के लिए औसत हृदय गति प्रति मिनट 75.9 . है
5. एक फुटकर बाजार में फल विक्रेता पैकिंग बक्सों में रखे आम बेच रहे थे। इन बक्सों में अलग-अलग संख्या में आम थे। बक्सों की संख्या के अनुसार आमों का वितरण निम्नलिखित था।
| आमों की संख्या | 50-52 | 53-55 | 56-58 | 59-61 | 62-64 |
| बक्सों की संख्या | 15 | 110 | 135 | 115 | 25 |
एक पैकिंग बॉक्स में रखे आमों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने का कौन-सा तरीका चुना?
समाधान:
चूंकि, दिया गया डेटा निरंतर नहीं है इसलिए हम ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ते हैं और निचली सीमा से 0.45 घटाते हैं क्योंकि दो अंतरालों के बीच का अंतर 1 होता है।
यहाँ, कल्पित माध्य (A) = 57
वर्ग आकार (एच) = 3
यहां, चरण विचलन का उपयोग किया जाता है क्योंकि आवृत्ति मान बड़े होते हैं।
| कक्षा अन्तराल | बक्सों की संख्या (च i ) | मध्य-बिंदु (x i ) | डी मैं = एक्स मैं - ए | एफ आई डी आई |
| 49.5-52.5 | 15 | 51 | -6 | 90 |
| 52.5-55.5 | 110 | 54 | -3 | -330 |
| 55.5-58.5 | 135 | 57 = ए | 0 | 0 |
| 58.5-61.5 | 115 | 60 | 3 | 345 |
| 61.5-64.5 | 25 | 63 | 6 | 150 |
| योग च मैं = 400 | योग च मैं घ मैं = 75 |
माध्य ज्ञात करने का सूत्र है:
माध्य = x̄ = A +h ∑f i d i /∑f i
= 57 + 3 (75/400)
= 57 + 0.1875
= 57.19
इसलिए, एक पैकिंग बॉक्स में रखे आमों की औसत संख्या 57.19 . है
6. नीचे दी गई तालिका एक इलाके में 25 घरों के भोजन पर दैनिक व्यय दर्शाती है। एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर औसत दैनिक व्यय ज्ञात कीजिए।
| दैनिक व्यय (सी में) | 100-150 | 150-200 | 200-250 | 250-300 | 300-350 |
| घरों की संख्या | 4 | 5 | 12 | 2 | 2 |
समाधान:
सूत्र की सहायता से दिए गए अंतराल का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।
मध्यबिंदु (x i ) = (ऊपरी सीमा + निचली सीमा)/2
मान लीजिए माध्य (A) = 225
वर्ग आकार (एच) = 50
| कक्षा अन्तराल | घरों की संख्या (च i ) | मध्य-बिंदु (x i ) | डी मैं = एक्स मैं - ए | आप मैं = डी मैं /50 | एफ मैं तुम मैं |
| 100-150 | 4 | 125 | -100 | -2 | -8 |
| 150-200 | 5 | 175 | -50 | -1 | -5 |
| 200-250 | 12 | 225 | 0 | 0 | 0 |
| 250-300 | 2 | 275 | 50 | 1 | 2 |
| 300-350 | 2 | 325 | 100 | 2 | 4 |
| योग च मैं = 25 | योग च मैं यू मैं = -7 |
माध्य = x̄ = A +h∑f i u i /∑f i
= 225+50(-7/25)
= 225-14
= 211
इसलिए, भोजन पर औसत दैनिक व्यय 211 . है
7. हवा में SO 2 की सांद्रता का पता लगाने के लिए (भागों प्रति मिलियन, यानी, पीपीएम) में, एक निश्चित शहर में 30 इलाकों के लिए डेटा एकत्र किया गया था और नीचे प्रस्तुत किया गया है:
| SO 2 की सांद्रता (पीपीएम में) | आवृत्ति |
| 0.00 - 0.04 | 4 |
| 0.04 - 0.08 | 9 |
| 0.08 - 0.12 | 9 |
| 0.12 - 0.16 | 2 |
| 0.16 - 0.20 | 4 |
| 0.20 - 0.24 | 2 |
वायु में SO2 की माध्य सांद्रता ज्ञात कीजिए ।
समाधान:
माध्य ज्ञात करने के लिए, पहले दी गई आवृत्तियों के मध्य बिंदु को निम्नानुसार खोजें:
| SO 2 की सांद्रता (पीपीएम में) | आवृत्ति (एफ मैं ) | मध्य-बिंदु (x i ) | एफ आई एक्स आई |
| 0.00-0.04 | 4 | 0.02 | 0.08 |
| 0.04-0.08 | 9 | 0.06 | 0.54 |
| 0.08-0.12 | 9 | 0.10 | 0.90 |
| 0.12-0.16 | 2 | 0.14 | 0.28 |
| 0.16-0.20 | 4 | 0.18 | 0.72 |
| 0.20-0.24 | 2 | 0.20 | 0.40 |
| संपूर्ण | योग च मैं = 30 | योग (f i x i ) = 2.96 |
माध्य ज्ञात करने का सूत्र है
माध्य = x̄ = f i x i /∑f i
= 2.96/30
= 0.099 पीपीएम
अतः वायु में SO2 की माध्य सांद्रता 0.099 पीपीएम है।
8. एक कक्षा शिक्षक के पास पूरे
सत्र के लिए कक्षा के 40 छात्रों का निम्नलिखित अनुपस्थित रिकॉर्ड है। एक छात्र के अनुपस्थित रहने के दिनों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।
| दिनों की संख्या | 0-6 | 6-10 | 10-14 | 14-20 | 20-28 | 28-38 | 38-40 |
| विद्यार्थियों की संख्या | 1 1 | 10 | 7 | 4 | 4 | 3 | 1 |
समाधान:
सूत्र की सहायता से दिए गए अंतराल का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।
मध्यबिंदु (x i ) = (ऊपरी सीमा + निचली सीमा)/2
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति (एफ मैं ) | मध्य-बिंदु (x i ) | एफ आई एक्स आई |
| 0-6 | 1 1 | 3 | 33 |
| 6-10 | 10 | 8 | 80 |
| 10-14 | 7 | 12 | 84 |
| 14-20 | 4 | 17 | 68 |
| 20-28 | 4 | 24 | 96 |
| 28-38 | 3 | 33 | 99 |
| 38-40 | 1 | 39 | 39 |
| योग च मैं = 40 | योग च मैं x मैं = 499 |
माध्य सूत्र है,
माध्य = x̄ = f i x i /∑f i
= 499/40
= 12.48 दिन
इसलिए, एक छात्र के अनुपस्थित रहने के दिनों की औसत संख्या = 12.48.
9. निम्न तालिका 35 शहरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। औसत
साक्षरता दर ज्ञात कीजिए।
| साक्षरता दर (% में) | 45-55 | 55-65 | 65-75 | 75-85 | 85-98 |
| शहरों की संख्या | 3 | 10 | 1 1 | 8 | 3 |
समाधान:
सूत्र की सहायता से दिए गए अंतराल का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।
मध्यबिंदु (x i ) = (ऊपरी सीमा + निचली सीमा)/2
इस स्थिति में, मध्य-बिंदु (x i ) का मान बहुत बड़ा है, इसलिए मान लें कि माध्य मान, A = 70 और वर्ग अंतराल h = 10 है।
तो, u i = (x i -A)/h = u i = (x i -70)/10
प्रतिस्थापित करें और मानों को निम्नानुसार खोजें:
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति (एफ मैं ) | (एक्स मैं ) | डी मैं = एक्स मैं - ए | आप मैं = डी मैं / एच | एफ मैं तुम मैं |
| 45-55 | 3 | 50 | -20 | -2 | -6 |
| 55-65 | 10 | 60 | -10 | -1 | -10 |
| 65-75 | 1 1 | 70 | 0 | 0 | 0 |
| 75-85 | 8 | 80 | 10 | 1 | 8 |
| 85-95 | 3 | 90 | 20 | 2 | 6 |
| योग च मैं = 35 | योग च मैं यू मैं = -2 |
तो, माध्य = x̄ = A+(∑f i u i /∑f i )×h
= 70+(-2/35)×10
= 69.42
अत: माध्य साक्षरता भाग = 69.42
Exercise - 14.2 पृष्ठ: 275
1. निम्नलिखित तालिका एक वर्ष के दौरान अस्पताल में भर्ती रोगियों की आयु दर्शाती है:
| आयु वर्षों में) | 5-15 | 15-25 | 25-35 | 35-45 | 45-55 | 55-65 |
| रोगियों की संख्या | 6 | 1 1 | 21 | 23 | 14 | 5 |
ऊपर दिए गए आँकड़ों का बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए।
केन्द्रीय प्रवृत्ति के दो मापों की तुलना और व्याख्या कीजिए ।
समाधान:
बहुलक वर्ग का पता लगाने के लिए, आइए हम उच्च आवृत्ति वाले वर्ग अंतराल पर विचार करें
यहाँ, सबसे बड़ी बारंबारता = 23, अतः बहुलक वर्ग = 35 - 45,
एल = 35,
वर्ग चौड़ाई (एच) = 10,
एफ एम = 23,
एफ 1 = 21 और एफ 2 = 14
बहुलक ज्ञात करने का सूत्र है
बहुलक = l+ [(f m -f 1 )/(2f m -f 1 -f 2 )]×h
सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें, हम प्राप्त करते हैं
मोड = 35+[(23-21)/(46-21-14)]×10
मोड = 35+(20/11) = 35+1.8
मोड = 36.8 वर्ष
अतः दिए गए आँकड़ों का बहुलक = 36.8 वर्ष
माध्य की गणना:
पहले सूत्र का उपयोग करके मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए, x i = (ऊपरी सीमा + निचली सीमा)/2
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति (एफ मैं ) | मध्य-बिंदु (x i ) | एफ आई एक्स आई |
| 5-15 | 6 | 10 | 60 |
| 15-25 | 1 1 | 20 | 220 |
| 25-35 | 21 | 30 | 630 |
| 35-45 | 23 | 40 | 920 |
| 45-55 | 14 | 50 | 700 |
| 55-65 | 5 | 60 | 300 |
| योग च मैं = 80 | योग च मैं x मैं = 2830 |
माध्य सूत्र है
माध्य = x̄ = f i x i /∑f i
= 2830/80
= 35.37 वर्ष
अतः दिए गए आँकड़ों का माध्य = 35.37 वर्ष
2. निम्नलिखित डेटा 225
विद्युत घटकों के देखे गए जीवनकाल (घंटों में) की जानकारी देता है:
| आजीवन (घंटों में) | 0-20 | 20-40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 | 100-120 |
| आवृत्ति | 10 | 35 | 52 | 61 | 38 | 29 |
घटकों के मोडल जीवनकाल निर्धारित करें।
समाधान:
दिए गए आँकड़ों से बहुलक वर्ग 60-80 है।
एल = 60,
आवृत्तियाँ हैं:
एफ एम = 61, एफ 1 = 52, एफ 2 = 38 और एच = 20
बहुलक ज्ञात करने का सूत्र है
बहुलक = l+ [(f m -f 1 )/(2f m -f 1 -f 2 )]×h
सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें, हम प्राप्त करते हैं
मोड =60+[(61-52)/(122-52-38)]×20
मोड = 60+((9 x 20)/32)
मोड = 60+ (45/8) = 60+ 5.625
इसलिए, घटकों का मोडल जीवनकाल = 65.625 घंटे।
3. निम्नलिखित आँकड़ों
में एक गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय का वितरण दर्शाया गया है। परिवारों के मोडल मासिक खर्च का पता लगाएं। साथ ही,
औसत मासिक व्यय ज्ञात कीजिए:
| व्यय | परिवारों की संख्या |
| 1000-1500 | 24 |
| 1500-2000 | 40 |
| 2000-2500 | 33 |
| 2500-3000 | 28 |
| 3000-3500 | 30 |
| 3500-4000 | 22 |
| 4000-4500 | 16 |
| 4500-5000 | 7 |
समाधान:
दिया गया डेटा:
मोडल वर्ग = 1500-2000,
एल = 1500,
आवृत्तियाँ:
एफ एम = 40 एफ 1 = 24, एफ 2 = 33 और
एच = 500
मोड सूत्र:
बहुलक = l+ [(f m -f 1 )/(2f m -f 1 -f 2 )]×h
सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें, हम प्राप्त करते हैं
मोड = 1500+[(40-24)/(80-24-33)]×500
मोड = 1500+ ((16×500)/23)
बहुलक = 1500+ (8000/23) = 1500 + 347.83
इसलिए, परिवारों का मोडल मासिक खर्च = 1847.83 रुपये
माध्य के लिए गणना:
पहले सूत्र का उपयोग करके मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए, x i =(ऊपरी सीमा +निचली सीमा)/2
आइए मान लें कि एक माध्य, A, 2750 . है
| कक्षा अन्तराल | फाई | ग्यारहवीं | दी = xi - ए | यूआई = डी/एच | फ़िउइ |
| 1000-1500 | 24 | 1250 | -1500 | -3 | -72 |
| 1500-2000 | 40 | 1750 | -1000 | -2 | -80 |
| 2000-2500 | 33 | 2250 | -500 | -1 | -33 |
| 2500-3000 | 28 | 2750 | 0 | 0 | 0 |
| 3000-3500 | 30 | 3250 | 500 | 1 | 30 |
| 3500-4000 | 22 | 3750 | 1000 | 2 | 44 |
| 4000-4500 | 16 | 4250 | 1500 | 3 | 48 |
| 4500-5000 | 7 | 4750 | 2000 | 4 | 28 |
| फाई = 200 | फ़ियूई = -35 |
माध्य की गणना करने का सूत्र,
माध्य = x̄ = a +(∑f i u i /∑f i )×h
दिए गए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित कीजिए
= 2750+(-35/200)×500
= 2750-87.50
= 2662.50
तो, परिवारों का औसत मासिक खर्च = रु 2662.50
4. निम्नलिखित वितरण भारत के उच्च माध्यमिक विद्यालयों में राज्यवार शिक्षक-छात्र अनुपात देता है। इस आँकड़ों का बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दो उपायों की व्याख्या करें
| प्रति शिक्षक छात्रों की संख्या | राज्यों / केंद्र शासित प्रदेशों की संख्या |
| 15-20 | 3 |
| 20-25 | 8 |
| 25-30 | 9 |
| 30-35 | 10 |
| 35-40 | 3 |
| 40-45 | 0 |
| 45-50 | 0 |
| 50-55 | 2 |
समाधान:
:दिया गया डेटा:
मोडल वर्ग = 30 - 35,
एल = 30,
वर्ग चौड़ाई (एच) = 5,
एफ एम = 10, एफ 1 = 9 और एफ 2 = 3
मोड फॉर्मूला:
बहुलक = l+ [(f m -f 1 )/(2f m -f 1 -f 2 )]×h
दिए गए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित कीजिए
मोड = 30+((10-9)/(20-9-3))×5
मोड = 30+(5/8) = 30+0.625
मोड = 30.625
अत: दिए गए आँकड़ों का बहुलक = 30.625
माध्य की गणना:
सूत्र का उपयोग करके मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए, x i =(ऊपरी सीमा +निचली सीमा)/2
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति (एफ मैं ) | मध्य-बिंदु (x i ) | एफ आई एक्स आई |
| 15-20 | 3 | 17.5 | 52.5 |
| 20-25 | 8 | 22.5 | 180.0 |
| 25-30 | 9 | 27.5 | 247.5 |
| 30-35 | 10 | 32.5 | 325.0 |
| 35-40 | 3 | 37.5 | 112.5 |
| 40-45 | 0 | 42.5 | 0 |
| 45-50 | 0 | 47.5 | 0 |
| 50-55 | 2 | 52.5 | 105.5 |
| योग च मैं = 35 | योग च मैं x मैं = 1022.5 |
माध्य = x̄ = f i x i /∑f i
= 1022.5/35
= 29.2
अत: माध्य = 29.2
5. दिया गया बंटन एक दिवसीय अंतरराष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में दुनिया के कुछ शीर्ष बल्लेबाजों द्वारा बनाए गए रनों की संख्या को दर्शाता है।
| रन रन | बल्लेबाजों की संख्या |
| 3000-4000 | 4 |
| 4000-5000 | 18 |
| 5000-6000 | 9 |
| 6000-7000 | 7 |
| 7000-8000 | 6 |
| 8000-9000 | 3 |
| 9000-10000 | 1 |
| 10000-11000 | 1 |
डेटा के मोड का पता लगाएं।
समाधान:
दिया गया डेटा:
मोडल वर्ग = 4000 - 5000,
एल = 4000,
वर्ग चौड़ाई (एच) = 1000,
एफ एम = 18, एफ 1 = 4 और एफ 2 = 9
मोड फॉर्मूला:
बहुलक = l+ [(f m -f 1 )/(2f m -f 1 -f 2 )]×h
मूल्यों को प्रतिस्थापित करें
मोड = 4000+((18-4)/(36-4-9))×1000
बहुलक = 4000+(14000/23) = 4000+608.695
मोड = 4608.695
मोड = 4608.7 (लगभग)
अत: दिए गए आँकड़ों का बहुलक 4608.7 रन है
6. एक छात्र ने एक सड़क पर एक स्थान से गुजरने वाली कारों की संख्या को 3 मिनट के 100 आवर्तों में नोट किया और इसे नीचे दी गई तालिका में सारांशित किया। डेटा का तरीका खोजें:
| कारों की संख्या | आवृत्ति |
| 0-10 | 7 |
| 10-20 | 14 |
| 20-30 | 13 |
| 30-40 | 12 |
| 40-50 | 20 |
| 50-60 | 1 1 |
| 60-70 | 15 |
| 70-80 | 8 |
समाधान:
दिया गया डेटा:
बहुलक वर्ग = 40 - 50, l = 40,
वर्ग चौड़ाई (एच) = 10, एफ एम = 20, एफ 1 = 12 और एफ 2 = 11
बहुलक = l+ [(f m -f 1 )/(2f m -f 1 -f 2 )]×h
मूल्यों को प्रतिस्थापित करें
मोड = 40+((20-12)/(40-12-11))×10
बहुलक = 40 + (80/17) = 40 + 4.7 = 44.7
अत: दिए गए आँकड़ों का बहुलक 44.7 कार है
Exercise - 14.3 पृष्ठ: 287
1. निम्नलिखित आवृत्ति वितरण एक इलाके में 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत देता है। आँकड़ों की माध्यिका, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए और उनकी तुलना कीजिए।
| मासिक खपत (इकाइयों में) | ग्राहकों की संख्या |
| 65-85 | 4 |
| 85-105 | 5 |
| 105-125 | 13 |
| 125-145 | 20 |
| 145-165 | 14 |
| 165-185 | 8 |
| 185-205 | 4 |
समाधान:
दिए गए आँकड़ों की संचयी आवृत्ति इस प्रकार ज्ञात कीजिए:
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति |
| 65-85 | 4 | 4 |
| 85-105 | 5 | 9 |
| 105-125 | 13 | 22 |
| 125-145 | 20 | 42 |
| 145-165 | 14 | 56 |
| 165-185 | 8 | 64 |
| 185-205 | 4 | 68 |
| एन = 68 |
तालिका से, यह देखा गया है कि, n = 68 और इसलिए n/2=34
अतः माध्यक वर्ग 125-145 है, संचयी बारंबारता = 42
जहां, एल = 125, एन = 68, सी एफ = 22, एफ = 20, एच = 20
माध्यिका की गणना इस प्रकार की जाती है:
=125+((34−22)/20) × 20
=125+12 = 137
अत: माध्यिका = 137
मोड की गणना करने के लिए:
मोडल वर्ग = 125-145,
f 1 =20, f 0 =13, f 2 =14 और h = 20
मोड सूत्र:
मोड = l+ [(f 1 - f 0 )/(2f 1 - f 0 - f 2 )]×h
मोड = 125 + ((20-13)/(40-13-14))×20
=125+ (140/13)
=125+10.77
=135.77
अतः बहुलक = 135.77
माध्य की गणना करें:
| कक्षा अन्तराल | च मैं | एक्स मैं | डी मैं = एक्स मैं -ए | आप मैं = डी मैं / एच | एफ मैं तुम मैं |
| 65-85 | 4 | 75 | -60 | -3 | -12 |
| 85-105 | 5 | 95 | -40 | -2 | -10 |
| 105-125 | 13 | 115 | -20 | -1 | -13 |
| 125-145 | 20 | 135 | 0 | 0 | 0 |
| 145-165 | 14 | 155 | 20 | 1 | 14 |
| 165-185 | 8 | 175 | 40 | 2 | 16 |
| 185-205 | 4 | 195 | 60 | 3 | 12 |
| योग च मैं = 68 | योग च मैं यू मैं = 7 |
x̄ =a+h ∑f i u i /∑f i =135+20(7/68)
मीन = 137.05
इस स्थिति में, माध्य, माध्यिका और बहुलक इस बंटन में कमोबेश बराबर हैं।
2. यदि नीचे दिए गए बंटन की माध्यिका 28.5 है तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति |
| 0-10 | 5 |
| 10-20 | एक्स |
| 20-30 | 20 |
| 30-40 | 15 |
| 40-50 | आप |
| 50-60 | 5 |
| संपूर्ण | 60 |
समाधान:
दिया गया डेटा, n = 60
दिए गए आँकड़ों की माध्यिका = 28.5
जहाँ, n/2 = 30
माध्य वर्ग 20-30 है जिसकी संचयी बारंबारता = 25+x
माध्यिका वर्ग की निचली सीमा, l = 20,
सी एफ = 5+x,
एफ = 20 और एच = 10
मूल्यों को प्रतिस्थापित करें
28.5=20+((30−5−x)/20) × 10
8.5 = (25 - x)/2
17 = 25-x
इसलिए, x =8
अब, संचयी बारंबारता से, हम x + y के मान को निम्नानुसार पहचान सकते हैं:
तब से,
60=5+20+15+5+x+y
अब, y . खोजने के लिए x के मान को प्रतिस्थापित करें
60 = 5+20+15+5+8+y
वाई = 60-53
वाई = 7
अत: x = 8 और y = 7 का मान।
3. जीवन बीमा एजेंट को 100 पॉलिसी धारकों की आयु के वितरण के लिए निम्नलिखित डेटा मिला। औसत आयु की गणना करें, यदि पॉलिसी केवल उन व्यक्तियों को दी जाती है जिनकी आयु 18 वर्ष से अधिक है लेकिन 60 वर्ष से कम है।
| आयु वर्षों में) | पॉलिसी धारक की संख्या |
| 20 . से नीचे | 2 |
| नीचे 25 | 6 |
| 30 . से नीचे | 24 |
| 35 . से नीचे | 45 |
| 40 . से नीचे | 78 |
| 45 . से नीचे | 89 |
| 50 . से नीचे | 92 |
| 55 . से नीचे | 98 |
| 60 . से नीचे | 100 |
समाधान:
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति |
| 15-20 | 2 | 2 |
| 20-25 | 4 | 6 |
| 25-30 | 18 | 24 |
| 30-35 | 21 | 45 |
| 35-40 | 33 | 78 |
| 40-45 | 1 1 | 89 |
| 45-50 | 3 | 92 |
| 50-55 | 6 | 98 |
| 55-60 | 2 | 100 |
दिया गया डेटा: n = 100 और n/2 = 50
माध्यिका वर्ग = 35-45
फिर, एल = 35, सी एफ = 45, एफ = 33 और एच = 5
माध्यिका = 35+((50-45)/33) × 5
= 35 + (5/33)5
= 35.75
अत: माध्यक आयु = 35.75 वर्ष।
4. एक पौधे में 40 पत्तियों की लंबाई को निकटतम मिलीमीटर तक सही ढंग से मापा जाता है, और प्राप्त आंकड़ों को निम्न तालिका में दर्शाया गया है:
| लंबाई (मिमी में) | पत्तों की संख्या |
| 118-126 | 3 |
| 127-135 | 5 |
| 136-144 | 9 |
| 145-153 | 12 |
| 154-162 | 5 |
| 163-171 | 4 |
| 172-180 | 2 |
पत्तियों की माध्यिका लंबाई ज्ञात कीजिए।
समाधान:
चूंकि डेटा निरंतर नहीं है, निचली सीमा में 0.5 कम करें और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ें।
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति |
| 117.5-126.5 | 3 | 3 |
| 126.5-135.5 | 5 | 8 |
| 135.5-144.5 | 9 | 17 |
| 144.5-153.5 | 12 | 29 |
| 153.5-162.5 | 5 | 34 |
| 162.5-171.5 | 4 | 38 |
| 171.5-180.5 | 2 | 40 |
तो, प्राप्त डेटा हैं:
एन = 40 और एन/2 = 20
माध्यिका वर्ग = 144.5-153.5
तब, एल = 144.5,
सीएफ = 17, एफ = 12 और एच = 9
माध्यिका = 144.5+((20-17)/12)×9
= 144.5+ (9/4)
= 146.75 मिमी
अत: पत्तियों की माध्य लंबाई = 146.75 मिमी।
5. निम्न तालिका 400 नियॉन लैंप के जीवनकाल का वितरण दर्शाती है।
| आजीवन (घंटों में) | लैंप की संख्या |
| 1500-2000 | 14 |
| 2000-2500 | 56 |
| 2500-3000 | 60 |
| 3000-3500 | 86 |
| 3500-4000 | 74 |
| 4000-4500 | 62 |
| 4500-5000 | 48 |
एक दीपक का औसत जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
समाधान:
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति | संचयी |
| 1500-2000 | 14 | 14 |
| 2000-2500 | 56 | 70 |
| 2500-3000 | 60 | 130 |
| 3000-3500 | 86 | 216 |
| 3500-4000 | 74 | 290 |
| 4000-4500 | 62 | 352 |
| 4500-5000 | 48 | 400 |
आंकड़े:
एन = 400 और एन/2 = 200
माध्यिका वर्ग = 3000 - 3500
इसलिए, एल = 3000, सी एफ = 130,
एफ = 86 और एच = 500
माध्यिका = 3000 + ((200-130)/86) × 500
= 3000 + (35000/86)
= 3000 + 406.97
= 3406.97
अत: लैम्प का माध्यक जीवन काल = 3406.97 घंटे
6. इसमें एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 उपनामों को यादृच्छिक रूप से उठाया गया था और उपनामों में अंग्रेजी अक्षरों में अक्षरों की संख्या का आवृत्ति वितरण निम्नानुसार प्राप्त किया गया था:
| अक्षरों की संख्या | 1-4 | 4-7 | 7-10 | 10-13 | 13-16 | 16-19 |
| उपनामों की संख्या | 6 | 30 | 40 | 16 | 4 | 4 |
उपनामों में मध्य अक्षरों की संख्या निर्धारित करें। उपनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए और उपनामों में मोडल का आकार भी ज्ञात कीजिए।
समाधान:
माध्यिका की गणना करने के लिए:
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति |
| 1-4 | 6 | 6 |
| 4-7 | 30 | 36 |
| 7-10 | 40 | 76 |
| 10-13 | 16 | 92 |
| 13-16 | 4 | 96 |
| 16-19 | 4 | 100 |
दिया गया:
n = 100 &n/2 = 50
माध्यिका वर्ग = 7-10
इसलिए, एल = 7, सी एफ = 36, एफ = 40 और एच = 3
माध्यिका = 7+((50-36)/40) × 3
माध्यिका = 7+42/40
माध्यिका=8.05
मोड की गणना करें:
मोडल वर्ग = 7-10,
जहां, एल = 7, एफ 1 = 40, एफ 0 = 30, एफ 2 = 16 और एच = 3
मोड = 7+((40-30)/(2×40-30-16)) × 3
= 7+ (30/34)
= 7.88
अतः बहुलक = 7.88
माध्य की गणना करें:
| कक्षा अन्तराल | च मैं | एक्स मैं | एफ आई एक्स आई |
| 1-4 | 6 | 2.5 | 15 |
| 4-7 | 30 | 5.5 | 165 |
| 7-10 | 40 | 8.5 | 340 |
| 10-13 | 16 | 11.5 | 184 |
| 13-16 | 4 | 14.5 | 51 |
| 16-19 | 4 | 17.5 | 70 |
| योग च मैं = 100 | योग च मैं x मैं = 825 |
माध्य = x̄ = f i x i /∑f i
माध्य = 825/100 = 8.25
अत: माध्य = 8.25
7. नीचे दिए गए बंटन से एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों का भार मिलता है। एक विद्यार्थी का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
| वजन (किलो में) | 40-45 | 45-50 | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 | 70-75 |
| विद्यार्थियों की संख्या | 2 | 3 | 8 | 6 | 6 | 3 | 2 |
समाधान:
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति |
| 40-45 | 2 | 2 |
| 45-50 | 3 | 5 |
| 50-55 | 8 | 13 |
| 55-60 | 6 | 19 |
| 60-65 | 6 | 25 |
| 65-70 | 3 | 28 |
| 70-75 | 2 | 30 |
दिया गया है: n = 30 और n/2= 15
माध्यिका वर्ग = 55-60
एल = 55, सी एफ = 13, एफ = 6 और एच = 5
माध्यिका = 55+((15-13)/6)×5
माध्यिका=55 + (10/6) = 55+1.666
माध्यिका =56.67
अत: विद्यार्थियों का माध्यक भार = 56.67
Exercise - 14.4 पृष्ठ: 293
1. निम्नलिखित वितरण 50 श्रमिकों की दैनिक आय देता है यदि कोई कारखाना है। ऊपर दिए गए बंटन को कम प्रकार के संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।
| रुपये में दैनिक आय | 100-120 | 120-140 | 140-160 | 160-180 | 180-200 |
| श्रमिकों की संख्या | 12 | 14 | 8 | 6 | 10 |
समाधान:
दी गई वितरण तालिका को कम प्रकार के संचयी बारंबारता बंटन में बदलें, और हमें प्राप्त होता है
| दैनिक आय | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति |
| 120 . से कम | 12 | 12 |
| 140 . से कम | 14 | 26 |
| 160 . से कम | 8 | 34 |
| 180 . से कम | 6 | 40 |
| 200 . से कम | 10 | 50 |
टेबल प्लॉट से ग्राफ पेपर पर क्रमबद्ध जोड़े जैसे (120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40) और (200, 50) के अनुरूप बिंदु और प्लॉट किए गए बिंदु हैं एक चिकने वक्र प्राप्त करने के लिए जुड़ते हैं और प्राप्त वक्र को कम प्रकार के तोरण वक्र के रूप में जाना जाता है
2.एक कक्षा के 35 छात्रों की चिकित्सा जांच के दौरान, उनका वजन इस प्रकार दर्ज किया गया:
| किलो में वजन | विद्यार्थियों की संख्या |
| 38 . से कम | 0 |
| 40 . से कम | 3 |
| 42 . से कम | 5 |
| 44 . से कम | 9 |
| 46 . से कम | 14 |
| 48 . से कम | 28 |
| 50 . से कम | 32 |
| 52 . से कम | 35 |
दिए गए आँकड़ों के लिए एक कम प्रकार का तोरण खींचिए। अत: ग्राफ से माध्यक भार ज्ञात कीजिए और सूत्र का प्रयोग कर परिणाम की पुष्टि कीजिए।
समाधान:
दिए गए आँकड़ों से तालिका को ग्राफ के रूप में निरूपित करने के लिए सुविधाजनक पैमाने का चयन करके वर्ग अंतरालों की ऊपरी सीमाएँ x-अक्ष में और बारंबारताएँ y-अक्ष पर चुनें। अब (38, 0), (40, 3), (42, 5), (44, 9), (46, 14), (48, 28), (50, 32) और (52, 35) को एक ग्राफ पेपर पर जोड़कर एक चिकना वक्र प्राप्त करें। प्राप्त वक्र को तोरण प्रकार से कम के रूप में जाना जाता है।
y-अक्ष पर बिंदु 17.5 का पता लगाएँ और एक बिंदु पर वक्र को काटते हुए x-अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचें। बिंदु से, x-अक्ष पर एक लंब रेखा खींचिए। x-अक्ष के लंबवत प्रतिच्छेदन बिंदु दिए गए डेटा का माध्यिका है। अब तालिका बनाकर बहुलक ज्ञात करना है।
| कक्षा अन्तराल | छात्रों की संख्या (आवृत्ति) | संचयी आवृत्ति |
| 38 . से कम | 0 | 0 |
| 40 . से कम | 3-0=3 | 3 |
| 42 . से कम | 5-3=2 | 5 |
| 44 . से कम | 9-5=4 | 9 |
| 46 . से कम | 14-9=5 | 14 |
| 48 . से कम | 28-14=14 | 28 |
| 50 . से कम | 32-28=4 | 32 |
| 52 . से कम | 35-22=3 | 35 |
कक्षा 46-48 की बारंबारता सबसे अधिक है, इसलिए यह बहुलक वर्ग है
यहाँ, l = 46, h = 2, f 1 = 14, f 0 = 5 और f 2 = 4
बहुलक सूत्र इस प्रकार दिया गया है:
अब, बहुलक =
= 46 + 0.95 = 46.95
इस प्रकार, मोड सत्यापित है।
3. निम्नलिखित तालिकाएँ एक गाँव के 100 खेतों में प्रति हेक्टेयर गेहूँ की उत्पादन उपज देती हैं।
| उत्पादन उपज | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 | 70-75 | 75-80 |
| खेतों की संख्या | 2 | 8 | 12 | 24 | 38 | 16 |
बंटन को एक से अधिक प्रकार के बंटन में बदलें और उसका तोरण खींचिए।
समाधान:
दिए गए वितरण को अधिक प्रकार के वितरण में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं
| उत्पादन उपज (किलो / हेक्टेयर) | खेतों की संख्या |
| 50 . से अधिक या उसके बराबर | 100 |
| 55 . से अधिक या उसके बराबर | 100-2 = 98 |
| 60 . से अधिक या उसके बराबर | 98-8= 90 |
| 65 . से अधिक या उसके बराबर | 90-12=78 |
| 70 . से अधिक या उसके बराबर | 78-24=54 |
| 75 . से अधिक या उसके बराबर | 54-38 =16 |
प्राप्त तालिका से संबंधित बिंदुओं को आलेखित करके तोरण खींचिए जहां x-अक्ष में ऊपरी सीमाएं और y-अक्ष में प्राप्त बारंबारताएं हैं (50, 100), (55, 98), (60, 90), (65) , 78), (70, 54) और (75, 16) पर
यह ग्राफ पेपर। प्राप्त ग्राफ को तोरण वक्र से अधिक के रूप में जाना जाता है।
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